例析解決問題中的數學思考方式

吳竹月

解決問題是學生學習數學的基本形式。《人人關注數學教育的未來》指出：數學提供了有特色的思考方式，包括建立模型，抽象化、最優化、邏輯分析、從數據進行推斷以及運用符號等，它們是普遍適用并且強有力的思考方式。因此，小學數學教學中，教師要授之以漁，有意識地“教會青年人去思考”，培養學生“有益的思考方式及應有的思維習慣”，把數學思考貫穿于解決問題的始終，引導學生在解決問題的同時，認識并逐步掌握數學思考方式，發展數學思維，為學生自主探索解決問題，實現可持續發展奠定堅實的基礎。

一、形象化思考方式

有些數學問題數量關系比較復雜，題意不夠直觀清晰，可以借助形象化的直觀圖形把題中的條件和問題表示出來，再對照圖形分析，從而發現題中的數量關系，尋找到解決問題的方法。

例1 一根鐵絲剪去12米后，又用去了余下的，還剩下36米。這根鐵絲原來長多少米？

分析：根據題意，可以畫出如下線段圖，將題中的條件和問題清楚地表示出來。從圖中可以很容易看出：“用去余下的”后，“還剩下36米”相當于余下的（1-）=，根據數量關系“余下鐵絲長×=36米”，可以列式求出余下鐵絲長36÷=60（米）。所以，這根鐵絲原來長60+12=72（米）。

二、動態化思考方式

有些數學問題靜態思考，直接解決比較復雜，甚至難以解答，可以將問題中的某些條件或情境動態處理，用運動變化的觀點去思考，在“動”中生成解決問題所需的條件，從而順利解決問題。

例2 如下左圖所示直角三角形ABC中，四邊形DBEF是一個正方形。已知AF長10厘米，FC長15厘米，求圖中陰影部分的面積。

分析：根據題中已知條件，無法直接求圖中陰影部分面積。分析圖中陰影部分兩個三角形的角的度數及邊的長度，就會發現可以利用動態化思考方式，將左上角陰影部分三角形繞F點逆時針旋轉至DF邊與FE邊重合，這時陰影部分剛好是一個兩直角邊分別為10厘米、15厘米的直角三角形，由此可求出圖中陰影部分面積是15×10÷2=75（平方厘米）。

三、特殊化思考方式

有些數學問題條件復雜，不易發現數量之間的關系，可以將問題中的某個一般化條件特殊化，由此得出一些關系和結論，與其他已知條件產生差異和矛盾，通過分析差異和矛盾的原因打開解決問題的思路，從而解決問題。

例3 學校五、六年級共有學生630人，五年級學生的與六年級學生的共408人參加學校社團活動。五、六年級各有多少學生？

分析：題中條件“五年級學生的與六年級學生的共408人”中的數量關系復雜，不易解決。可以特殊化為“五、六年級都有的學生參加學校社團活動”，由此得到參加學校社團活動的學生應該有630×=360（人），而實際“五年級與六年級共408人參加學校社團活動”，參加學校社團活動的人數相差408-360=48（人）。分析這個“差”的原因是因為把“六年級學生的”特殊為“六年級學生的”，少算-=。即“六年級×=48”，可以求出六年級學生有48÷=336（人），五年級學生有630-336=294（人）。當然，也可以特殊為“五、六年級都有的學生參加學校社團活動”，再尋找數量之間的關系來解決。

四、逆向化思考方式

解決某些數學問題，正向思考往往繁瑣、復雜，甚至難以解決，而采取逆向化思考方式如同剝筍，逐層深入，往往容易發現數量之間的本質聯系，使問題迅速得到解決。

例4 一批水果，第一天賣出總數的少10千克，第二天賣出余下的多3千克，還剩25千克沒有賣。這批水果共有多少千克？

分析：從問題出發，以還剩25頁千克沒有賣為思考起點，進行逆向化思考比順向思考要容易很多。還剩25千克是第二天賣出余下的多3千克后剩下的數量，因而第二天賣出余下的后應剩25+3=28（千克），所以第一天賣出總數的少10千克后余下的數量應當是28÷（1-）=70（千克）。進一步逆向思考，如果第一天剛好賣出總數的而不少10千克，就會余下70-10=60（千克），所以這批水果的總數應當是60÷（1-）=120（千克）。

五、模型化思考方式

有些數學問題比較復雜，卻具有一定的規律性，可以先引導學生由簡單入手，抓住問題的本質特征構造恰當的數學模型，再運用構造的數學模型來思考原來的數學問題，就會使問題順利得到解決。

例5 用邊長1厘米的小正方形拼成一個邊長8厘米的大正方形，這個大正方形中共有多少個正方形？

分析：直接思考有難度，可以先思考簡單情況：用邊長1厘米的小正方形拼成一個邊長1厘米、2厘米、3厘米、4厘米的大正方形，大正方形中分別有1個、1+4=5（個）、1+4+9=14（個）、1+4+9+16=30（個）正方形……觀察思考不斷變換的邊長與大正方形中的正方形個數，可以發現隨著邊長的增加，每次都增加了邊長的平方個正方形。通過這樣的模型化思考，可以迅速得到這個邊長8厘米的大正方形中共有1+4+9+16+25+36+49+64=204（個）正方形。

六、分類化思考方式

有些數學問題比較復雜，需要根據問題的實際情況進行分類思考，注意思考各類情況，再綜合思考，使復雜問題變得簡單，從而得到解決。

例6 把一個長8厘米，寬6厘米，高5厘米的長方體木塊分割成形狀、大小相同的兩個長方體。表面積最多增加多少平方厘米？

分析：顯然，無論從哪條棱分割，都比原來長方體多了兩個分割面，但不同的分割方法，增加的表面積是不同的，不能直接求出分割后表面積最多增加多少平方厘米。題中沒有說明從長、寬、高中的哪條棱進行，需要分三種分割情況（如下圖）逐一解答：從長方體的“長”分割增加6×5×2=60（平方厘米），從長方體的“寬”分割增加8×5×2=80（平方厘米），從長方體的“高”分割增加8×6×2=96（平方厘米）。由此可得分割后表面積最多增加96平方厘米。

七、推理化思考方式

就是引導學生根據已知條件之間的關系，進行推理分析，逐步尋求未知問題的結論，從而解決問題。

例7 一個長方體，如果長減少2厘米，就成為一個正方體，這時，正方體的表面積是96平方厘米，原來長方體的體積是多少？

分析：根據“如果長減少2厘米，就成為一個正方體”可知，原來長方體的寬和高相等。又已知這時正方體的表面積是96平方厘米，由此可知正方體的一個正方形面的面積是96÷6=16（平方厘米），根據正方形的面積=邊長×邊長，可得到正方形的邊長，即正方體的棱長是4厘米，原來長方體的長是4+2=6（厘米）。因此，原來長方體的體積是6×4×4=96（立方厘米）。

綜上可見，學生數學思考方式是在解決問題的過程中逐步形成和積累的，需要教師有意識地引導學生體驗所運用的數學思考方式，重視引導學生對思考過程進行回顧反思，提煉蘊含其中的數學思考方式，逐步領悟、積累和掌握其中的數學思考方式，提高學生終身可持續發展的能力。