搭建“腳手架”，指明思考路

黃明覺

[摘 要]教師在課堂上要敢于放手讓學生自己去探究和思考問題，只有以學生為本的教學活動才能促進學生思考和學習。以一道關于求組合圖形面積的難題為例，通過分析原因，給出相應的解決策略，幫助學生順利地解開難題，并且培養學生舉一反三的解題能力。

[關鍵詞]組合圖形；面積；空間觀念

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）23-0027-02

【問題提出】

對于六年級期末試卷上的一道題 ，學生都感覺無從下手，認為題目給予的數學信息太少，甚至開始懷疑是不是這道題目出錯了。

【本質探求】

這是一道求組合圖形面積的題目，首先要求學生掌握計算長方形、正方形、三角形、平行四邊形和梯形等圖形面積的方法，并能合理運用組合圖形面積的計算方法：分割法，根據圖形的特征和已知條件把一個組合圖形分割成幾個簡單的規則圖形，然后分別計算出每個規則圖形的面積，最后把這些面積的數據相加在一起；割補法，把這個組合圖形的某些部分分割下來補充到另一部分上，讓它變成一個能夠計算面積的幾何圖形，然后再進行計算；挖空法，把這個組合圖形先看成一個完整的規則圖形，計算這個規則圖形的面積后，再減去周圍空缺部分的面積；折疊法，把這個組合圖形折成幾個完全相同的圖形，先計算出一個圖形的面積，有幾個這樣的圖形就乘幾。

總之，求組合圖形面積的問題就是引導學生想辦法將無法用公式直接計算的圖形面積轉變成可以計算面積的圖形，從中滲透轉化的數學思想方法和培養學生的空間想象能力。

【教學建議】

對于五六年級的學生來說，這道題目給予的信息較少，要求將這個陰影部分的圖形轉變成與兩個正方形有關的圖形，是學生解決這道題目最為棘手的地方。因此，教師在教學時不妨為學生搭建“腳手架”，讓他們順著“腳手架”去思考，這樣既省時又為他們指明了思考的方向。

1.回憶常見平面圖形的面積計算公式

師：還記得我們已經學過的平面圖形的面積計算公式嗎？

生1：長方形面積等于長乘寬，正方形面積等于邊長乘邊長，平行四邊形面積等于底乘高，三角形面積等于底乘高除以2，梯形面積等于上底加下底的和乘高除以2。

2.研究組合圖形的面積計算方法

師：我們用過哪些方法來計算組合圖形的面積？

生2：把不規則的圖形分割成認識的平面圖形，然后再把這些平面圖形的面積加起來。

生3：我會想辦法把不規則圖形拼補成規則的圖形來計算。

生4：我會把不規則圖形先補成規則圖形，用大面積減去小面積來計算。

師：大家總結得真好。我們來看一道題目：圖1是由邊長分別是5cm、4cm的兩個正方形組成，求陰影部分的面積。請大家先獨立思考，看看可以怎樣轉化。

學生匯報交流解題方法：

方法一：用大面積減去小面積的方法。先計算出兩個正方形的面積之和5×5+4×4=41（平方厘米），再分別計算出不是陰影的三個小三角形的面積分別是（4+5）×5÷2=22.5（平方厘米）、（5-4）×5÷2=2.5（平方厘米）、4×4÷2=8（平方厘米），那么陰影部分的面積就是41-22.5-2.5-8=8（平方厘米）。

方法二：通過計算發現了陰影部分的面積等于小正方形面積的一半。如圖2，因為梯形BCDG的面積=梯形BCDH的面積+三角形BGH的面積=（4+5）×5÷2=22.5（平方厘米），三角形BCE的面積=梯形BCDH的面積+三角形DEH的面積=5×（4+5）÷2=22.5（平方厘米），所以三角形BGH的面積=三角形DEH的面積。陰影部分BEG的面積=三角形BGH的面積+三角形EGH的面積=三角形DEH的面積+三角形EGH的面積=三角形GDE的面積=4×4÷2=8（平方厘米）。因此這個陰影部分的面積是8平方厘米。

方法三：如圖2，把這個陰影部分轉變成另一個方便計算的三角形GDE。因為三角形BGD的面積=4×5÷2=10（平方厘米）=三角形BGH的面積+三角形BHD的面積，又因為三角形BDE的面積=4×5÷2=10（平方厘米）=三角形HDE的面積+三角形BHD的面積，所以三角形HDE的面積=三角形BGH的面積。要計算的陰影部分面積是三角形BGH的面積+三角形EGH的面積=三角形HDE的面積+三角形EGH的面積=三角形GDE的面積。因為正方形的邊長是4厘米，所以三角形GDE的面積是4×4÷2=8（平方厘米）。

3.舉一反三，利用組合圖形面積求邊長

為了促進學生能夠熟練掌握組合圖形面積的計算方法，我又提供了一道相似的題目，引導學生找出正確的解題思路。題目：如圖3，每個小方格的長度為1厘米，兩個正方形的邊長分別是5厘米和3厘米，求線段DH的長度。

首先讓學生在練習本上獨立解答，接著再進行全班的交流和反饋。

為了交流的方便，很多學生給每個交點都標上了字母。

學生一：用設未知數解方程的方法來解決。設線段DH的長度為x厘米，因為三角形ADG的面積=三角形ADH的面積+三角形HDG的面積=5x÷2+3x÷2=4x，又因為三角形ADG的面積=3×5÷2=7.5（平方厘米），所以4x=7.5，計算出x=1.875，所以線段DH的長度是1.875厘米。

學生二：利用等底同高的兩個三角形的面積進行轉化來計算線段DH的長度。因為三角形ADG的面積是3×5÷2=7.5（平方厘米），又因為三角形HCG與三角形ADG是等底同高的三角形，所以它們的面積相等，因此線段HD=7.5×2÷（3+5）=[158]=1.875（厘米）。

【教學反思】

在教學的過程中，教師沒有過多的言語，都是讓學生獨立思考與相互交流，學生在思維的碰撞中找到問題的“腳手架”和突破口，這樣的學習過程體現了以學生為主的新課程理念，真正讓課堂成為學生學習和思考的主陣地。教師不但發揮著組織者、引領者和設計者的職責，并且在學生困惑之處及時給予適當的點撥和啟迪，讓學生能夠朝著正確的方向不斷深入思考，尋找到更多的方法。同時，在這個過程中，教師滲透了轉化的數學思想方法，培養了學生的數學邏輯能力和數學思考能力。

當然，當學生具備了一定的解題經驗后，教師又趁熱打鐵為學生提供了一個借助組合圖形來計算線段長度的題目，不僅為了培養學生舉一反三的能力，更是要求學生對于同一道題目能夠進行“一題多解”，拓寬數學思維。

總之，教師在課堂上要放手讓學生去探究和思考問題，在學生有困難的地方為他們引領指路，幫助他們及時釋疑，只有這樣才能在課堂上促使學生獲得扎實的基礎知識和基本技能的同時，又能獲得基本活動經驗和數學思想方法。

（責編 童 夏）