現(xiàn)實數(shù)學(xué)：讓兒童與數(shù)學(xué)深度遇見

韓秀娟

摘 要：“現(xiàn)實數(shù)學(xué)”是荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾的基本思想。“情景”是現(xiàn)實數(shù)學(xué)的教學(xué)載體，“數(shù)學(xué)化”是現(xiàn)實數(shù)學(xué)的教學(xué)方式，“有指導(dǎo)的再創(chuàng)造”是現(xiàn)實數(shù)學(xué)的教學(xué)旨趣。在教學(xué)實踐中，教師要創(chuàng)設(shè)場景、引領(lǐng)創(chuàng)造、建構(gòu)學(xué)生的“可能生活”。

關(guān)鍵詞：現(xiàn)實數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)現(xiàn)實；情景；數(shù)學(xué)化；再創(chuàng)造

“現(xiàn)實數(shù)學(xué)”不僅是一種教學(xué)理念、教學(xué)思想，更是一種教學(xué)方式?！艾F(xiàn)實數(shù)學(xué)”是荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾所提出的教學(xué)主張。從20世紀(jì)60年代末起，弗氏就一直致力于“現(xiàn)實數(shù)學(xué)”教育改革研究，在全世界數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育領(lǐng)域產(chǎn)生了廣泛而深遠(yuǎn)的影響。一直到今天，弗氏教育思想依然熠熠生輝，歷久彌新。那么，我們應(yīng)該怎樣理解“現(xiàn)實數(shù)學(xué)”？“現(xiàn)實數(shù)學(xué)”思想對當(dāng)下小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有怎樣的啟示？

一、“現(xiàn)實數(shù)學(xué)”的思想內(nèi)涵及其教學(xué)意義

弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)不是符號游戲，而是人們對現(xiàn)實世界、現(xiàn)實生活的經(jīng)驗總結(jié)。數(shù)學(xué)源于生活，生活是數(shù)學(xué)的根基。離開現(xiàn)實世界，離開生活，數(shù)學(xué)就是無源之水、無本之木，兒童數(shù)學(xué)更是如此。其中，“情景”是現(xiàn)實數(shù)學(xué)的載體，“數(shù)學(xué)化”是現(xiàn)實數(shù)學(xué)的教與學(xué)方式，“有指導(dǎo)的再創(chuàng)造”是現(xiàn)實數(shù)學(xué)的旨?xì)w。

1. 情景：“現(xiàn)實數(shù)學(xué)”的教學(xué)載體

情景既是“現(xiàn)實數(shù)學(xué)”的載體，也是“現(xiàn)實數(shù)學(xué)”的根基。在“現(xiàn)實數(shù)學(xué)”教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)將數(shù)學(xué)知識鑲嵌于情景之中，讓兒童從情景中獲得啟示。因為現(xiàn)實世界沒有純粹的數(shù)學(xué)問題，所以教師在教學(xué)中也不宜運用純粹數(shù)學(xué)問題讓學(xué)生探究?！扒榫啊笔菧贤?、聯(lián)結(jié)數(shù)學(xué)與兒童的橋梁、紐帶，也是兒童研究數(shù)學(xué)的場域。一方面，情景要能激活學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，喚起學(xué)生的探究激情；另一方面，情景必須內(nèi)蘊數(shù)學(xué)本質(zhì)，能夠引發(fā)學(xué)生深度思考。教學(xué)中，教師可以采用“情境串”“信息窗”等形式，幫助學(xué)生打開一扇扇通往大千世界的門窗。

2. 數(shù)學(xué)化：“現(xiàn)實數(shù)學(xué)”的教學(xué)方式

“數(shù)學(xué)化”是弗賴登塔爾“現(xiàn)實數(shù)學(xué)”最為重要的教學(xué)方式。所謂“數(shù)學(xué)化”，就是數(shù)學(xué)組織現(xiàn)實材料過程?！皵?shù)學(xué)化”包括“橫向數(shù)學(xué)化”（水平數(shù)學(xué)化）和“縱向數(shù)學(xué)化”（垂直數(shù)學(xué)化）。所謂“橫向數(shù)學(xué)化”，即是讓學(xué)生將現(xiàn)實世界問題（現(xiàn)實問題）轉(zhuǎn)化、發(fā)展、提升為數(shù)學(xué)問題；所謂“縱向數(shù)學(xué)化”，即是在數(shù)學(xué)世界里運用數(shù)學(xué)符號對數(shù)學(xué)問題做進一步抽象化處理。弗氏深刻指出，“與其說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，毋寧說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化；與其說是學(xué)習(xí)形式，毋寧說是學(xué)習(xí)形式化；與其說是學(xué)習(xí)公理，毋寧說是學(xué)習(xí)公理化”。

3.有指導(dǎo)的再創(chuàng)造：“現(xiàn)實數(shù)學(xué)”的教學(xué)旨趣

所謂“再創(chuàng)造”，就是由學(xué)生本人將數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生過程創(chuàng)造出來?！艾F(xiàn)實數(shù)學(xué)”認(rèn)為，數(shù)學(xué)是最容易創(chuàng)造的一門學(xué)科，每個學(xué)生都應(yīng)該按照自己的特點將數(shù)學(xué)知識創(chuàng)造出來，進而達到每個人都不盡相同的數(shù)學(xué)現(xiàn)實。弗氏認(rèn)為，“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一方法就是再創(chuàng)造，再創(chuàng)造應(yīng)當(dāng)貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)始終”。通過“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)活動，充分發(fā)掘每個學(xué)生潛在的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)力，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體問題到抽象概念、符號的自然轉(zhuǎn)化。

應(yīng)當(dāng)說，“現(xiàn)實數(shù)學(xué)”的思想內(nèi)涵是深刻的，對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有著現(xiàn)實的指導(dǎo)意義和借鑒價值。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、探究，重蹈人類探究數(shù)學(xué)知識的關(guān)鍵步伐，讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)。那種“掐頭去尾燒中段”的快餐式的數(shù)學(xué)教學(xué)方式，弗氏認(rèn)為是“教學(xué)法的顛倒”。也正如笛卡爾與萊布尼茲所說，“……知識并不是只來自一種線性的，從上演繹到下的純粹理性……，真理既不是純粹理性，也不是純粹經(jīng)驗，而是理性與經(jīng)驗的循環(huán)?！?/p>

二、“現(xiàn)實數(shù)學(xué)”的教學(xué)策略及其路徑探尋

康德說，“沒有經(jīng)驗的概念是空洞的，沒有概念的經(jīng)驗是不能構(gòu)成知識的”。在“現(xiàn)實數(shù)學(xué)”教學(xué)中，教師要引領(lǐng)兒童在“現(xiàn)實”和“數(shù)學(xué)”之間穿行，讓學(xué)生經(jīng)歷從“現(xiàn)實”到“問題”、從“符號”到“概念”的轉(zhuǎn)化。只有經(jīng)歷兩個層次的數(shù)學(xué)化，兒童才能真正理解數(shù)學(xué)，同時，也才能真正學(xué)會運用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實問題。

1. 創(chuàng)建場景，讓兒童與數(shù)學(xué)深度相遇

弗氏在《數(shù)學(xué)教育再探》中認(rèn)為，場景既可以是有意義的情境，也可以是一個真實或虛構(gòu)的故事，還可以是師生創(chuàng)造的現(xiàn)實等。場景既是學(xué)生的“理解場”，也是學(xué)生的“探究場”“實踐場”。“場景”喚醒了兒童現(xiàn)實的或潛在的大量的緘默性數(shù)學(xué)知識，縮短了數(shù)學(xué)知識客體和兒童主體之間的距離。

教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級上冊《間隔排列》，教材中以主題圖形式呈現(xiàn)——“兔子和蘑菇”“夾子和手帕”“木樁和籬笆”。應(yīng)該說，教材中主題圖的內(nèi)容是豐富的，能夠構(gòu)建學(xué)習(xí)情景。主題圖有助于學(xué)生觀察，但學(xué)生卻缺乏操作感受。為此，筆者在教學(xué)中取了幾根短繩，讓學(xué)生打結(jié)。學(xué)生從兩根繩子開始探索（找規(guī)律的一般方法——以小見大）：2根繩子1個結(jié)；3根繩子2個結(jié)；4根繩子3個結(jié)；……結(jié)合主題圖，孩子們發(fā)現(xiàn)：繩子和結(jié)、兔子和蘑菇、夾子和手帕、木樁和籬笆都相差1。原來，兩端物體相同，兩端物體比中間物體多1 ?！盀槭裁磿嗖?呢？”問題現(xiàn)象引發(fā)了學(xué)生的深度思考。通過對主題圖的圈畫，孩子們發(fā)現(xiàn)：兩端物體相同時，一組一組地將兩種物體圈起來、對應(yīng)起來，最后兩端物體比中間物體確實多1個。學(xué)生萌發(fā)猜想：如果兩端物體不相同呢？如果讓這根繩子首尾相連呢？在場景中，學(xué)生深度體驗、感受，展開觀察、操作、思辨等數(shù)學(xué)活動，歸納總結(jié)出“間隔排列”的規(guī)律。在“兩端物體相同”的基礎(chǔ)上拓展延伸，進而突破難點、解決問題。

著名思想家愛因斯坦所說，“教育應(yīng)當(dāng)使所提供的東西讓學(xué)生作為一種寶貴的禮物來領(lǐng)受，而不是作為一種艱苦的任務(wù)要他去負(fù)擔(dān)”。通過情景創(chuàng)設(shè)，兒童在真實或者擬真的知識境脈中識別、探尋。學(xué)生不僅獲得“學(xué)業(yè)智力”，而且獲得“工作智力”，不僅獲得“學(xué)業(yè)思維”，而且獲得“實踐思維”。

2. 引領(lǐng)創(chuàng)造，讓兒童與數(shù)學(xué)結(jié)伴而行

小學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)是不同的。高等數(shù)學(xué)的知識可能遠(yuǎn)離學(xué)生的經(jīng)驗，但小學(xué)數(shù)學(xué)是貼合兒童經(jīng)驗的。弗氏深刻指出，因為數(shù)學(xué)常識是可靠的、準(zhǔn)確的，兒童完全可以根據(jù)自己的常識進行數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”。由于兒童在生活、活動中積淀了大量的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，因此教師可以引領(lǐng)兒童數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”，讓兒童與數(shù)學(xué)結(jié)伴相行。兒童數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”的過程同時也是兒童“數(shù)學(xué)化”的過程。

例如蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊的《用數(shù)對確定位置》，在學(xué)生理解了“列”和“行”的意義基礎(chǔ)上，筆者首先出示班級座位情景圖，讓學(xué)生描述班級座位圖中的李小林的位置。有學(xué)生說第4列第3行，有學(xué)生說第3行第4列，學(xué)生對這兩種表示方法都很認(rèn)同。接著，筆者快速展示班級其他學(xué)生的位置，讓學(xué)生記錄。有學(xué)生認(rèn)為老師放得太快了；有學(xué)生認(rèn)為應(yīng)該簡化寫法。應(yīng)該說，學(xué)生數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”的需求已經(jīng)產(chǎn)生。于是，筆者讓學(xué)生再次用自己的方式表示李小林的位置。學(xué)生表示的方法豐富多樣，如“3-4”“3，4”“4-3”“4，3”“4○3”“4☆3”等。在學(xué)生對數(shù)學(xué)進行再創(chuàng)造的基礎(chǔ)上，筆者出示“數(shù)學(xué)規(guī)定”：列在前，行在后，并且中間用逗號隔開。通過數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”，孩子們感受、體驗到數(shù)學(xué)規(guī)定的合理性、科學(xué)性。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要相信學(xué)生有“再創(chuàng)造”的潛質(zhì)，創(chuàng)設(shè)情景引發(fā)學(xué)生的“再創(chuàng)造”心理需求。弗氏認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)有兩個：一個是“實體”，一個是“精神實體”。在上述案例中，“用數(shù)對確定位置”是實體，而“為什么用數(shù)對確定位置”則是精神實體，在弗氏看來，精神實體比實體更為重要。

3. 建構(gòu)生活，讓兒童與數(shù)學(xué)共生共長

所謂“可能生活”（趙汀陽語），是指兒童對數(shù)學(xué)知識、文化的“再創(chuàng)造”生活，也是兒童運用“有價值的數(shù)學(xué)”參與日常實踐的生活。建構(gòu)“可能生活”，能夠讓兒童與數(shù)學(xué)共生共長。在“現(xiàn)實數(shù)學(xué)”教學(xué)中，教師要做兒童的“共同遭遇者”，有時要將自己隱藏起來，甚至要主動“示弱”。因為，只有蹲下身子，才能和兒童肩并肩共同欣賞數(shù)學(xué)園地里美麗的風(fēng)景。

例如教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊《圓的周長》，筆者首先和學(xué)生一起復(fù)習(xí)長方形、正方形的周長，激活學(xué)生的已有知識，即長方形的周長與長和寬有關(guān)，正方形的周長與邊長有關(guān)。由此激活學(xué)生的前擁知識，引導(dǎo)學(xué)生主動猜想：圓的周長應(yīng)該與圓的直徑或者半徑有關(guān)。接著，讓學(xué)生主動測量圓的周長。于是，有學(xué)生用滾圓法，有學(xué)生用繞圓法。這時，筆者用旋轉(zhuǎn)法產(chǎn)生軌跡圓，激發(fā)兒童認(rèn)知沖突、認(rèn)知心向。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這個軌跡圓的周長是無法直接測量的。同時，通過滾圓法、繞圓法的測量，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：半徑小的圓，周長也小；半徑大的圓，周長也大。由此，學(xué)生進一步展開合理猜想：圓的周長和圓的直徑的商是否一定呢？經(jīng)過小組合作，計算出圓的周長是直徑的3倍多一些，是半徑的6倍多一些。為什么每一次的商不相同但相差不大呢？學(xué)生進一步展開深度思考。在不斷建構(gòu)可能的數(shù)學(xué)生活中，學(xué)生不斷地發(fā)展、提升著自我的數(shù)學(xué)思維。將學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)的數(shù)學(xué)，將教育形態(tài)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為生命形態(tài)的數(shù)學(xué)。

“現(xiàn)實數(shù)學(xué)”教學(xué)，讓學(xué)生從自我的數(shù)學(xué)前見、數(shù)學(xué)前理解出發(fā)，不斷刷新自我的數(shù)學(xué)視域，不斷敞亮自我的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的可能生活。學(xué)生不斷地經(jīng)歷著數(shù)學(xué)化，不斷地展開數(shù)學(xué)再創(chuàng)造，成為一個真正意義上的發(fā)現(xiàn)者、探索者、創(chuàng)造者。學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不斷創(chuàng)生著自我的數(shù)學(xué)可能生活。

數(shù)學(xué)教學(xué)要從學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)實出發(fā)，關(guān)照學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)實、生活現(xiàn)實、思維現(xiàn)實、情感現(xiàn)實和實踐現(xiàn)實等，這是“現(xiàn)實數(shù)學(xué)”教學(xué)的基礎(chǔ)。借鑒弗賴登塔爾的“現(xiàn)實數(shù)學(xué)”教學(xué)思想，能夠推進數(shù)學(xué)教育改革，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)“核心素養(yǎng)”，讓每個學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實不斷升級！