給力數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 發(fā)展學(xué)生理性思維

倪志敏

摘 要：同一數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，借“問(wèn)”促進(jìn)學(xué)生衍生深淺不同的“理性”認(rèn)識(shí)；不同數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，探“原”促進(jìn)學(xué)生生發(fā)厚薄不同的“理性”思考；給力數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，整“合”促進(jìn)學(xué)生萌生表質(zhì)不同的“理性”批判。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；思維；理性；比較

數(shù)學(xué)家歐拉認(rèn)為：“數(shù)學(xué)這門科學(xué)需要觀察，也需要實(shí)驗(yàn)。”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為一種數(shù)學(xué)探索活動(dòng)，筆者粗淺地認(rèn)為，它有時(shí)是蘊(yùn)含“理性思考”的動(dòng)手操作，或是融入“猜想驗(yàn)證”的紙筆演算，抑或是兩者兼有之。但無(wú)論選取哪一類數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)方式，都是為了獲得某種數(shù)學(xué)理論，檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)數(shù)學(xué)猜想，或解決某類數(shù)學(xué)問(wèn)題。在這些活動(dòng)中，我們都應(yīng)該讓學(xué)生不僅動(dòng)手，也要?jiǎng)幽X，“促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展和理性精神的養(yǎng)成”（鄭毓信）。

一、同一數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，借“問(wèn)”促進(jìn)學(xué)生衍生深淺不同的“理性”認(rèn)識(shí)

在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)同一知識(shí)體系內(nèi)的知識(shí)編排都體現(xiàn)了“螺旋上升”這一特點(diǎn)。如在一年級(jí)與六年級(jí)，教材中都安排了“認(rèn)識(shí)圓柱”這一知識(shí)點(diǎn)。無(wú)獨(dú)有偶，在校內(nèi)公開課《有趣的拼搭》和《認(rèn)識(shí)圓柱和圓錐》這兩節(jié)課中都安排了同一數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)——“滾一滾”。

【案例點(diǎn)擊1】：《有趣的拼搭》

師：我們用小黑板作為滑面，將各種形狀的積木拿好，先放在滑梯上方，然后松手讓它們滑下來(lái)。看看你能發(fā)現(xiàn)什么？

（學(xué)生分小組進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，滾一滾這些積木。）

生1：球、圓柱體滾下來(lái)了，而且滾得很快。

生2：正方體和長(zhǎng)方體的積木不容易滾。

（教師將圓柱的底面放在滑梯上。）

師：現(xiàn)在圓柱體怎么不滾了呢？

生：底面是平的，放在滑梯上不容易滾下去。

師：圓柱體上有平面也有曲面。把平面放在滑梯上，它就不容易滾；把曲面放在滑梯上，它就滾得快。

【案例點(diǎn)擊2】：《認(rèn)識(shí)圓柱和圓錐》

出示一端粗一端細(xì)的粉筆、一個(gè)圓柱。

（學(xué)生分組進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，滾一滾這些物體。）

師：你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：圓柱沿直線滾，粉筆滾時(shí)會(huì)打彎。

師：那么，粉筆是圓柱嗎？

生：粉筆不是圓柱。因?yàn)樗纳舷碌酌骐m然都是圓，但不完全相同。一頭粗一頭細(xì)。

師（強(qiáng)調(diào)）：圓柱從上到下一樣粗。

【比較思考】——問(wèn)到深處理更濃

案例1中的“問(wèn)”抓住圓柱有時(shí)滾得快，有時(shí)卻不易滾的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)平面與曲面的不同特征，直指其數(shù)學(xué)本質(zhì)，即面的特征。有了一年級(jí)學(xué)生對(duì)圓柱特征的初步認(rèn)識(shí)，因此，六年級(jí)學(xué)生通常對(duì)圓柱“上、下兩個(gè)底面是完全相同的兩個(gè)圓”“有一個(gè)曲面”這兩點(diǎn)比較關(guān)注，而對(duì)圓柱“從上到下一樣粗”容易疏忽。案例2中的“問(wèn)”抓住圓柱和粉筆都有曲面，但滾出來(lái)的形狀不同，直指圓柱實(shí)質(zhì)也是一個(gè)直柱體，從而溝通各種直柱體的內(nèi)在聯(lián)系，這種認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)會(huì)產(chǎn)生積極作用。

在相同的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)“滾一滾”中，兩位教者沒(méi)有滿足于只讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“滾”的結(jié)果上的差異，而是“問(wèn)”到底，講究精深，使問(wèn)題具有挑戰(zhàn)性，直指數(shù)學(xué)的本質(zhì)，讓學(xué)生能夠想得深，讓相同的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)衍生出深淺不同的理性認(rèn)識(shí)。

二、不同數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，探“原”促進(jìn)學(xué)生生發(fā)厚薄不同的“理性”思考

《數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程不能單純地依賴模仿與記憶，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地從事觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，從而使學(xué)生形成自己對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和有效的學(xué)習(xí)策略。在校內(nèi)公開課中，一位教師教學(xué)《3的倍數(shù)特征》時(shí)，借助計(jì)數(shù)器進(jìn)行分層實(shí)驗(yàn)，層次分明，分為五步：第一步，在百數(shù)表里圈出3的倍數(shù)，初步看到3的倍數(shù)分散在表的各行各列；第二步，通過(guò)檢驗(yàn)，3的倍數(shù)的特征不表現(xiàn)在數(shù)的各位上；第三步，通過(guò)提供不同的數(shù)珠，分組實(shí)驗(yàn)比較，發(fā)現(xiàn)如果每個(gè)數(shù)所用數(shù)珠的個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)，那這個(gè)數(shù)才是3的倍數(shù)；第四步，把數(shù)珠個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為各位上的數(shù)的和，初步發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)的特征；第五步，通過(guò)反例證實(shí)3的倍數(shù)的特征。

評(píng)課中，多數(shù)教師認(rèn)為，五步教學(xué)活動(dòng)是連貫的，步步深入，逐漸接近數(shù)學(xué)的本質(zhì)內(nèi)容；五步教學(xué)活動(dòng)也是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模粌H研究了正例，也研究了反例，便于學(xué)生利用結(jié)論進(jìn)行判斷；五步教學(xué)活動(dòng)更是符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的，借助形象直觀，及時(shí)進(jìn)行抽象與歸納，能夠有效地突破難點(diǎn)。

倍數(shù)和因數(shù)這一概念源于整除。整除就是“分一分”。3的倍數(shù)就是這個(gè)數(shù)是否可以3個(gè)3個(gè)地分，最后沒(méi)有余數(shù)。基于這樣的思考，筆者對(duì)于《3的倍數(shù)的特征》的教學(xué)進(jìn)行了一些嘗試：

1. 分一分小棒。

（1）出示：3根、6根、9根小棒，讓學(xué)生分一分后得出結(jié)論：3、6、9是3的倍數(shù)。

再出示：3捆（10根為一捆）、6捆、9捆小棒，讓學(xué)生分一分。3捆6根、6捆9根等，讓學(xué)生接著分一分。

（2）再出示：3大捆（100根為一捆）、6大捆、9大捆小棒圖，讓學(xué)生分一分。再讓學(xué)生分一分3大捆9捆6根小棒圖。

師：你們發(fā)現(xiàn)了什么？（一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)）

2. 畫一畫小棒圖。

（1） 出示1大捆2捆3根小棒圖（圖1）。

師：這是多少？（123）分一分，這個(gè)數(shù)是否是3的倍數(shù)？

1大捆中的99根小棒是3的倍數(shù)，因此百位還剩1根小棒；2捆可以分為2個(gè)一捆，每捆中的9根也是3的倍數(shù)，因此2捆中各剩下1根小棒，也就是十位還剩2根小棒。現(xiàn)在要判斷123是否是3的倍數(shù)，只要看哪部分？

生：看余下的根數(shù)，即1+2+3。

（2）出示2大捆3捆9根小棒圖，讓學(xué)生畫一畫。

3. 分一分?jǐn)?shù)。

出示2142、3475，讓學(xué)生分組研究這兩個(gè)數(shù)是否是3的倍數(shù)（圖2）。

師：由此，判斷一個(gè)數(shù)是不是3的倍數(shù)，需要通過(guò)整個(gè)數(shù)除以3來(lái)判斷嗎？

生：只要看各位上的數(shù)除以3以后余下的數(shù)的和是不是3的倍數(shù)就可以了。

師：那個(gè)位上的數(shù)除以3余下的數(shù)與原來(lái)數(shù)位上的數(shù)有什么關(guān)系？（它們是相同的）

師（歸納）：一個(gè)數(shù)各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)。

【比較思考】——兩相權(quán)衡取其理

首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院方運(yùn)加老師曾說(shuō)：講授數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)強(qiáng)調(diào)通過(guò)邏輯鏈條以及由淺入深的認(rèn)知路徑，將數(shù)學(xué)新知識(shí)揭示給學(xué)生，這樣才符合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，才能發(fā)揮數(shù)學(xué)知識(shí)的智慧作用。筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)也應(yīng)如此。與教材中安排的數(shù)珠實(shí)驗(yàn)相比，這樣實(shí)驗(yàn)，不僅教學(xué)“知其然”，而且教學(xué)“知其所以然”，具有一定的難度，它挑戰(zhàn)了學(xué)生的思維，也將學(xué)生的思維由“薄”變“厚”。這種從根本處探尋，尋到思維原點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)，無(wú)疑給學(xué)生打開了一扇窗，讓學(xué)生不僅看到了現(xiàn)象，更理解了本質(zhì)。

三、給力數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，整“合”促進(jìn)學(xué)生萌生表質(zhì)不同的“理性”批判

1. 想象豐富數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

全國(guó)著名特級(jí)教師劉松在第23屆“現(xiàn)代與經(jīng)典”教學(xué)活動(dòng)中執(zhí)教《玩轉(zhuǎn)三角形》后，介紹設(shè)計(jì)這節(jié)課的原因——源自一節(jié)實(shí)踐活動(dòng)課：學(xué)生將長(zhǎng)方形硬紙板的長(zhǎng)粘在小棒上，然后不停地旋轉(zhuǎn)，教師原本希望孩子能說(shuō)出“我能看見以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為軸，旋轉(zhuǎn)一周，能形成一個(gè)圓柱”，豈料，學(xué)生竟說(shuō)“老師，我什么也看不見”。

成人無(wú)須實(shí)驗(yàn)就能得到的結(jié)論，為什么孩子百般疑惑也得不到？因?yàn)槌扇藢?duì)于這一結(jié)論的獲得是借助的想象，而孩子只能憑借觀察，觀察實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，真的是“看見的，并不一定是真的”。因此，筆者認(rèn)為，與其動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，倒不如讓學(xué)生掩卷閉眼進(jìn)行想象，進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間的思考后，還可以借助多媒體技術(shù)進(jìn)行直觀演示或觀察生活中的旋轉(zhuǎn)門圖片進(jìn)行驗(yàn)證。

2. 推理論證支撐數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

教學(xué)《平行線》時(shí)，對(duì)于“平行線間的垂直線段長(zhǎng)度相等”這一知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)，多數(shù)教師是這樣做的：先讓學(xué)生畫出幾條平行線間的垂直線段后，再讓學(xué)生用尺子量一量這幾條垂直線段的長(zhǎng)度，通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證得出結(jié)論——兩條平行線間的垂直線段長(zhǎng)度相等。

對(duì)此，筆者認(rèn)為，用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方法量“平行線間的垂直線段的長(zhǎng)度相等”，因?qū)W生畫圖不規(guī)范或尺子的問(wèn)題，一定會(huì)存在誤差，并且平行線間的垂直線段有無(wú)數(shù)條，又豈是一把尺子能量得完的？筆者認(rèn)為，這里的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證只是“淺嘗輒止”，缺少推理論證的支撐。教者可在學(xué)生量出幾條垂直線段的長(zhǎng)度后，再引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)任何兩條垂直線段和這兩條平行線圍成的都是一個(gè)長(zhǎng)方形。只要我們確認(rèn)“長(zhǎng)方形的對(duì)邊是相等的”，我們就能同時(shí)確認(rèn)“兩條平行線間的所有垂直線段的長(zhǎng)度都相等”。

【比較思考】——舍“動(dòng)”得“靜”方顯理

鄭毓信教授在《為學(xué)生思維發(fā)展而教》的報(bào)告中指出：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是“認(rèn)真地想，靜靜地聽，輕輕地說(shuō)”，數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該是思維的課堂、安靜的課堂、開放的課堂。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)這一探索活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入“做數(shù)學(xué)”的境界，激發(fā)學(xué)生動(dòng)手和探索的興趣。但它并不是一把解決問(wèn)題的萬(wàn)能鑰匙。因?yàn)椋⒉皇敲抗?jié)數(shù)學(xué)課的教學(xué)內(nèi)容都可以用實(shí)驗(yàn)的形式進(jìn)行組織的。我們除了可以合理地選擇課題，還需要與其他思維方式整合運(yùn)用。包含實(shí)驗(yàn)的數(shù)學(xué)課堂，往往是熱鬧的“動(dòng)手”，但我們必須要將單純地“動(dòng)手”向“動(dòng)腦”發(fā)展，用“靜靜地思”架設(shè)它們之間的橋梁，用想象、論證推理或豐富或支撐起數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，方能顯現(xiàn)數(shù)學(xué)的理性之美。

鄭毓信教授在報(bào)告中說(shuō)：數(shù)學(xué)的核心是理性精神。無(wú)論課程教學(xué)怎么改革，數(shù)學(xué)教育都要牢牢抓住數(shù)學(xué)的基本問(wèn)題。數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要“揀精剔肥”，科學(xué)地選擇數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，合理地安排數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，方能促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展和理性精神的養(yǎng)成。