理清知識脈絡，探尋分數本真

張寧全

摘 要：以探尋分數本真教學為基點從三方面進行推進。第一方面構建分數家族，理清知識脈絡；第二方面通過對比教材，明晰《求一個數的幾分之幾是多少》這節課的任務承載；第三方面具體闡述在《求一個數的幾分之幾是多少》教學過程如何凸顯其承上啟下的任務承載，為后續的分數教學做好知識、策略上的鋪墊，從而探尋分數本真的教學。

關鍵詞：分數；除法；含義

分數的教學，是對整數教學的一次跨越，是學生對數領域探尋的拓展。關于分數家族也是一個龐大的知識體系，從分數的概念教學、分數的計算與分數的應用將分數教學螺旋式上升的進行安排。實驗版和修訂版教材都是分三步進行推進，都是在三上安排《分數的初步認識》單元，五下安排《分數的意義》、《分數加減法》單元，六上安排《分數的乘除法》單元。將分數的所有內容進行一一的羅列與學習。

一、構建分數家族，理清知識脈絡

關于分數版塊的內容安排是一張嚴密的知識網，通過分數的概念、計算與應用三個版塊的教學將散落于每冊教材中的各個知識點進行聯結。通過收集分析教材相關內容，編制知識網，現將分數家族構建如下（圖2）：

而在這個龐大的知識體系中，修訂版教材第五冊《分數的初步認識》單元新增的用乘除兩步解決問題的《求一個數的幾分之幾是多少》，既是對分數內涵理解的深入，也是為了進一步溝通分數與除法之間的關系，同時為分數乘法解決問題做前期鋪墊。它不僅是內涵理解的拓展，也是分數應用教學的實踐。在整個分數教學中占有舉足輕重的地位，那么對于這節課的兩套教材又是如何編排的，讓我們走進兩個版本的編排。

二、對比教材編排，探尋任務承載

修訂版教材分別在三年級上冊和六年級上冊安排《求一個數的幾分之幾是多少》解決問題，而實驗版教材僅是在六年級上冊做內容的安排，那么兩個版本的教材意圖分別是什么，讓我們一起來分析一下。

1. 對比教材編排

同樣都在六年級的《分數乘法》單元安排“求一個數的幾分之幾”是多少的解決問題，為什么修訂版教材在三上分數的初步認識單元安排了本節課，那么這節課又該承載著怎么樣的教學任務？

2. 明確任務承載

修訂版教材第五冊《求一個數的幾分之幾是多少》解決問題，它是在學生充分理解分數含義的基礎上進行教學的。根據分數的含義，用整數乘除法的知識來解決實際問題。而在這里安排最主要的任務是讓學生進一步理解分數含義以及為分數意義的學習做進一步的鋪墊。從以下兩個方面進行考慮：

（1）進一步理解分數含義的需要

本課是在學生學習了分數的初步認識的基礎上進行學習的，例題中有12個學生，女生占了1/3，男生占了2/3，求女生和男生分別有幾人？從題意中理解，要求男女生的人數就是求12的1/3和12的2/3分別是幾。這里就要關注學生對分數內含的理解，只有讓學生深切地理解：1/3表示把一個整體平均分成3份，取其中的1份，而2/3就是把一個整體平均分成3份，取其中的2份，才能引導學生理解題意的要求，就是把12看成一個整體，把12平均分成3份，取其中一份，列式就是12÷3=4（人）；2/3是男生，表示把12個人平均分成3份，取其中的2份，列式就是12÷3=4（人），4×2=8（人）。在應用過程中，讓學生進一步理解了分數的含義，也為五年級分數意義的學習做好了知識上的鋪墊。

（2）孕伏分數與除法關系的需要

分數含義的理解可以從份數、除法、比等多個角度理解，這里主要是溝通分數與除法之間的關系。就如以上所說，通過分數含義的理解，把12看成一個整體，平均分成3份，取其中的1份或2份。在解決女生有多少人的問題中，讓學生通過畫圖，就能深切感受到把12個人平均分成3份，取其中一份，列式就是12÷3=4（人），這里就運用了等分除的含義解決問題。“3”既是除法算式中的除數，同時也是分數里的分母，讓學生初步感受除法與分數是一家。從而讓學生進一步明白，分母是幾就是把一個整體平均分成了幾份。這樣通過分析題意、畫圖演示、列式計算等過程，讓學生初步感知分數與除法的關系，為五年級下冊學習分數與除法的關系做好孕伏。

三、立足課堂教學，探尋分數本真

本節課要解決一個數的幾分之幾是多少的問題，之所以沒有涉及分數乘法，是由于學生的數學思維、知識層次還未能掌握分數乘法。學習本課的重點就落在理解分數含義的基礎上把握數量關系，然后再利用已有的整數乘、除法的知識進行計算解決，也是對分數含義的深層次探尋。

1. 圖示表征，理解分數內涵厘清數量關系

由于三年級學生抽象思維水平偏低，很難將對分數含義的理解與除法算式解決對接，所以我們主要考慮用圖形表征的方式作溝通的橋梁，串聯題意、算式，通過對比分析，讓學生在厘清數量關系的基礎上，進一步理解分數含義，建構解題模型。

為了幫助學生理解，教材采用圖示表征模式，讓學生直觀地看到12的1/3是4，表示女生有4人；12的2/3是8，表示男生有8人。通過直觀演示，讓學生能清晰地運用圖示作媒介，溝通文字與算式之間的橋梁。

課堂上為了凸顯圖示表征對理解題意的橋梁作用，運用圖示表征法將抽象的文字轉換為圖示。我們先從情境中理解題意，讓學生明白1/3是女生表示什么，2/3是男生表示什么，這里我們可以重點來關注男生人數多少的問題。讓學生通過畫一畫、圈一圈或算一算的方法來表示男生的人數。在反饋過程中，通過讓學生自己闡述圖意，旨在凸顯學生的思維過程。通過學生的闡述讓我們能夠更加清晰地認知學生對題意的理解，也就是對分數的理解，而在多種圖示表征過程中，也能看到學生思維層次的多樣性。比如：這里圓片、三角形等表示實物個數的，屬于第一層次，是具化了的。而類似長條圖和線段圖的表征呈現，這是思維的第二層次，屬于抽象的圖示表征，學生的思維上升到了另一高度。提升學生的思維層次，圖示作為中間的媒介，能有效溝通文字與算式的橋梁。

解讀完圖示表征后，設計追問題“這些圖示有什么相同點，”旨在通過多種圖示的對比溝通，讓學生認識到分數的本質，都是平均分成3份，取其中的兩份，老師適時地將2/3用粉筆圈一下，將圖與數進行了有效的對接。這樣就能幫助學生將枯燥抽象的文字描述轉化為直觀形象的圖示，為正確解答搭建了腳手架，這個環節是探尋學生對題意理解最重要的一環。在這個過程中，幫助學生又一次理解分數的含義厘清了數量關系。

2. 算式表征，借助乘除兩步溝通分除關系

在進行了圖示表征后，教師緊接著讓學生進行列式解決，呈現學生的列式方法，12÷3=4（人），4×2=8（人），這里需要加強圖與式的溝通，作為教師必須有意識地引導學生，說說你是怎么想的？先求出什么？再求出什么？正是有了這些追問，在充分暴露學生思維過程的同時，也為正確的解答做好了鋪墊。因為2/3是男生，就是把12平均分成3份，取其中的2份。用算式12除以3等于4，先求的是每份是多少，緊接著2乘4等于8，再求這樣的兩份，當然在整個過程中，我們也需要將圖示與算式進行有效的對接。那么求12的2/3是多少，通過圖示的橋梁作用，就可以用乘除兩步計算來解決，進一步溝通了分數與除法的關系。同時也為后續的整數乘分數12×2/3做好計算上的鋪墊。

3. 對比分析，建構解題模型理解分數本真

解決問題的教學，最終要建構解題模型，讓學生突破現象看本質，那么如何建構解題模型，本課在實施過程中，采用了對比分析，引導學生在對比交流中，感受解決問題的關鍵所在，從而建構解題模型。

在本節課的推進過程中，我們可以呈現兩次對比，第一次對比是呈現題組“有12名學生，其中2/3是男生，男生有多少人？有15個人，其中2/3是男生，男生有多少人？”追問：這兩題的相同點是什么？讓學生明白男生都是占總數的2/3，圖示表征也相同，解題的過程也相同，為什么結果會不一樣，這里主要讓學生明白，雖然都是總數的2/3，但當總數不同時，所得到的結果也是不同的。而在跟進練習中，再次呈現題組“喜羊羊和美羊羊情景圖，有40個蘋果，美羊羊吃了其中的2/5，喜羊羊吃了其中3/8，他們分別吃了幾個？”兩題進行對比，通過教師的追問，讓學生明白，當總數相同，所占比不同，所得到的結果也是不同的。最后通過這些對比，讓學生發現求一個數的幾分之幾是多少時，解題的一般方法都是相同的，也就是都要先算出每份是多少，再求這樣的幾份來解決問題，從而有效地建構模型，讓學生進一步理解了分數本真。