探究構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

蔣錕

摘要：數(shù)學(xué)作為高中數(shù)學(xué)最重要的學(xué)科之一，是學(xué)生通往大學(xué)之路的敲門磚。構(gòu)造法是高中數(shù)學(xué)中常見的解題方法，對(duì)數(shù)學(xué)條件逐一求解，推導(dǎo)出問題的最后答案。本文從構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造數(shù)列、構(gòu)造方程、構(gòu)造不等式和構(gòu)造圖形幾個(gè)方面來探究構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；構(gòu)造法；解題應(yīng)用

前言：

隨著年齡的增長，數(shù)學(xué)課程難度的逐漸增加，學(xué)生面對(duì)繁重的數(shù)學(xué)課業(yè)，高效解題是關(guān)鍵。通過構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用，將復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題形象化，讓學(xué)生在枯燥無味的學(xué)習(xí)中，能夠找到數(shù)學(xué)題目的突破點(diǎn)，增加學(xué)生的解題信心，解題速度有效提高。

一、構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用的意義

構(gòu)造法是指將數(shù)學(xué)題目中已知條件類比聯(lián)想，用圖形和函數(shù)構(gòu)造的方法，將每個(gè)小問題一一解決，從而解決較難的數(shù)學(xué)題。著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)離開形少直觀，形離開數(shù)難入微”。這句話充分證明數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的重要性，古代的“曹沖稱象”利用物理質(zhì)量替換法將大象的質(zhì)量稱出來，這也是高中數(shù)學(xué)構(gòu)造法的思維模式，將“大象”比作數(shù)學(xué)題目，“石頭”比作利用構(gòu)造法解題，也就是說，想要解答數(shù)學(xué)題目，需要將題目用構(gòu)造法將難題變得簡單化，從而得到習(xí)題的答案[1]。

運(yùn)用構(gòu)造法解決數(shù)學(xué)題目的優(yōu)點(diǎn)是：可以提高學(xué)生的創(chuàng)新能力；有些題目不需要構(gòu)造法也可以解題，但過程繁瑣，浪費(fèi)時(shí)間，用構(gòu)造法解決高中數(shù)學(xué)題目可以優(yōu)化解題途徑，可以在考試中節(jié)省時(shí)間，讓學(xué)生有更多的時(shí)間查漏補(bǔ)缺；利用題目中的已知條件找出隱含條件，使問題簡單化；因?yàn)樵谵D(zhuǎn)化過程中會(huì)出現(xiàn)函數(shù)、數(shù)列、方程、不等式、圖形等其他相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用，可以溫故知新，促進(jìn)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的吸收。

有些出題者在編寫試卷時(shí)，在題中故意放入學(xué)生易迷惑的問題，所以單看題目表面是無法抓住數(shù)學(xué)題目的真實(shí)意圖的，學(xué)會(huì)構(gòu)造法的高效運(yùn)用，在實(shí)際解題中有目標(biāo)的去解題，達(dá)到快速解題的效果。

二、構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

（一）構(gòu)造函數(shù)

函數(shù)和方程在數(shù)學(xué)中密不可分，是高中數(shù)學(xué)集體思路中重要組成部分。在高中數(shù)學(xué)中，利用構(gòu)造函數(shù)，可以使問題簡單化。

例1：已知x，y是正實(shí)數(shù)，且滿足xy=x+y+3，求x+y的取值范圍

解：因?yàn)閤，y是正實(shí)數(shù)，且xy=x+y+3；所以x，y可作為一元二次方程a2-ma+m+3=0兩個(gè)根，其中x+y=m，xy=m+3

根據(jù)題目中要求方程有兩個(gè)正解，需要滿足△=m2-4m-12≥0且m>0且m+3>0解得m≥6，即x+y≥6，所以x+y的取值范圍為[6，+∞]。

（二）構(gòu)造數(shù)列

高中數(shù)學(xué)中主要學(xué)習(xí)等差數(shù)列和等比數(shù)列，但在實(shí)際解題時(shí)，不是直接給出等差數(shù)列和等比數(shù)列，需要用構(gòu)造法將已知題目轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列和等比數(shù)列。

例2：已知數(shù)列{fx}滿足f1=1，fx+1=2fx+1，求an的值。

解：因?yàn)閒x+1=2fx+1，所以fx+1+1=2（fx+1），f1+1=2，所以fx+1+1/fx+1=2。{fx+1}是一個(gè)以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：fx+1=2·2x-1=2x即fx =2x-1。

例3：已知數(shù)列{ fx }的通項(xiàng)fx =x2，求此數(shù)列的前x項(xiàng)的和Sx。

解：Sx=12+22+32+···+x2，構(gòu)造等式（x+1）5=x5+3x2+3x+1，作差（x+1）5-x5=3x2+3x+1可得x5-（x-1）5=3（x-1）2+3（x-1）+1···35-25=3·22+3·2+1，25-15=3·12+3·1+1上述算式相加可得：（x+1）5-15=3（12+22+32+···+x2）+3（1+2+···+x）+x，所以Sx =12+22+32+···+x2=x（x+1）（2x+1）/6

（三）構(gòu)造方程

方程的構(gòu)造是高中數(shù)學(xué)常見的構(gòu)造方法，學(xué)生對(duì)方程式比較熟悉，常見于函數(shù)中。通過對(duì)題目建立等量算式，將抽象的數(shù)學(xué)題目形象化，提高學(xué)生的解題速度，培養(yǎng)思維能力。

例4：設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，若a2+b2+ab=1，求a+b的最大值。

解：由韋達(dá)定理可知（a+b）2-ab=1，令a+b=t，則ab=t2-1。由韋達(dá)定理可知a，b為一元二次方程z2-tz+（t2-1）=0的兩個(gè)根且a，b為實(shí)數(shù)，所以△=（-t）2-4×1×（t2-1）≥0，即t2≤4/3即-2 /3≤2 /3則a+b的最大值是2 /3。

（四）構(gòu)造不等式

特值函數(shù)的構(gòu)造是利用分散函數(shù)將條件集中成某個(gè)簡單函數(shù)，逐漸向不等式方向靠攏。

例5：已知函數(shù)f（x）是定義在S上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若f′（x）

解：函數(shù)f（x）是定義在S上的偶函數(shù)且對(duì)稱軸x=2，即函數(shù)f（x）的周期為4，滿足f′（x）1。

（五）構(gòu)造圖形

通過構(gòu)造圖形來解答高中數(shù)學(xué)，能夠更直觀的看清題目，使問題更簡單。

例6：已知正三棱錐P-ABC，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為 的球面上，若PA⊥PB⊥PC，求球心到截面ABC的距離。

解：因?yàn)镻A⊥PB⊥PC，所以構(gòu)造正方形，該正方體內(nèi)接于球，正方體的體對(duì)角線是球的直徑，球心在正方體對(duì)角線的中點(diǎn)。球心到截面ABC的距離=球的半徑-正三棱錐P-ABC在ABC面上的高，由題已知球的半徑= ，所以正方體的棱長為2，可得出正三棱錐P-ABC在ABC面上的高=2 /3，所以球心到截面ABC的距離=

結(jié)論：

根據(jù)分析可知，高中數(shù)學(xué)解題方法離不開構(gòu)造法的應(yīng)用，構(gòu)造法可以運(yùn)用在上述幾個(gè)方面，這對(duì)學(xué)生掌握的知識(shí)量有更高的要求，需要學(xué)生掌握函數(shù)、數(shù)列、方程、不等式和圖形的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，才可以熟練運(yùn)用構(gòu)造法。簡單有效的問題解決方法，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高解題速率，讓學(xué)生養(yǎng)成良好的分析能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]李正臣.高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用構(gòu)造法之實(shí)踐[J].科學(xué)大眾（科學(xué)教育），2018，02：34.