組合公式的偏導數證明

武國寧　孫娜　劉建軍　陳小民

摘要：本文借助于多元函數求偏導數，從分析的角度給出了組合公式的一個證明。從分析的角度來證明組合問題是一個巧妙的想法，對一些問題的求解提供了一種新穎的思路。

關鍵詞：組合公式；偏導數

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）27-0193-02

一、引言

在大學數學課程如概率論，微積分和線性代數等的講授過程中，我們常遇到以下組合計數[1][2]：nn n-n n …n-n -…-n n 。這里nn 表示：從n個不同元素里取n 個元素不同組合的個數。該組合計數可以看作將帶有標號的n個球分為k組，第一組有n 個球，第二組有n 個球，…第k組有n 個球不同分法的個數。例如含有k個變量n次多項式展開式為：

x +x +…+x = nn n-n n …n-n -…-n n x x …x （1）

又如，k個函數乘積的n階導數求法為：

f f …f = nn n-n n …n-n -…-n n

f f …f （2）

我們都熟悉以下等式：

nn n-n n …n-n -…-n n = （3）

這個等式是如何計算出來的？

常規的證明方法為排列計數法[1]。簡述如下：

我們將帶有標號的n個球分為k組，第一組有n 個球，第二組有n 個球，…第k組有n 個球。假設分法有x種。即設x=nn n-n n …n-n -…-n n ，對于一個給定的分組，如果考慮標號，不同的標號如果認為不同的排列，那么對于給定的一個分組，由于不同標號的排列總共有n ！n ！…n ！個新排列。而帶有標號的n個球的全排列為n！。這樣我們有：

xn ！n ！…n ！=n！ （4）

所以有（3）式成立。

本文我們借助偏導數的方法來證明公式（3）。

二、證明

對公式（1）的兩邊求n階混合偏導數，有

x +x +…+x

= nn n-n n …n-n -…-n n x x …x （5）

其中m ≥0，i=1，2，…k且m +m +…+m =n。

等式左邊為，

x +x +…+x =n！ （6）

等式的右邊，除了m =n ，i=1，2，…k的那一項外，其他項的偏導數為零。所以有：

nn n-n n …n-n -…-n n x x …x

= nm n-m m …n-m -…-m m

x x …x

=nm n-m m …n-m -…-m m m ！m ！…m ！（7）

由公式（6），（7），所以有：

nm n-m m …n-m -…-m m =

證畢。

特別地，若k=2，則：

x +x = nlx x （5）

n！=nmm！n-m！ （6）

所以有：

nm= （7）

三、結論

組合公式nm n-m m …n-m -…-m m = 是我們熟悉的一個公式，常規的思路為借助于排列計數的方法來證明。本文我們借助于求偏導數來證明該公式，這是一種用分析方法證明組合公式的嘗試。該方法較為新穎，為我們解決組合問題提供了一種新的思路。

四、致謝

感謝中國石油大學北京教改項目支持。

參考文獻：

[1]鐘開萊.初等概率論附隨機過程[M].北京：人民教育出版社，1979.

[2]茆詩松.概率論基礎[M].北京：高等教育出版社，1997.