線性代數中基于線性方程組的“轉換”思想

沈進

摘要：線性代數的主要研究對象是行列式、矩陣、線性方程組、矩陣的特征值、二次型以及線性變換，其中線性方程組的學習和研究貫穿全書。首先我們使用行列式和矩陣作為工具來判斷線性方程組的解。之后我們利用“轉換”思想把具體的線性問題構建成一個線性方程組的數學模型，將線性問題轉化成方程組求解問題。文中列舉了線性代數基于線性方程組“轉換”思想的三處知識點，分別是：向量組的線性組合、向量組的線性相關性、矩陣的特征值。利用“轉換”思想可以加深大家對線性問題的理解。

關鍵詞：線性代數；線性方程組；轉換思想；矩陣

中圖分類號：O151.2 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）27-0189-02

一、引言

線性方程組是線性代數教學內容的主線。第一章利用行列式的克拉默法則解系數行列式不等于零的方程組，第二章將線性方程組轉化成矩陣形式，利用逆矩陣求解方程組。第三章把方程組的消元過程轉化成矩陣的初等變換。之后，我們就使用線性方程組來解決一系列的線性問題，例如線性組合，線性相關（無關）等。[1]在這過程中，主要利用“轉換”思想把具體的線性問題構建成一個線性方程組的數學模型，將待研究的線性問題轉換成相應方程組的解，根據方程組有唯一解、解不唯一或無解，來找出向量的線性關系或矩陣特征值等問題。[2]下面我們就具體介紹教學中三種常見的基于線性方程組“轉換”思想的線性問題。

二、相關理論

1.n元線性方程組的三種表達形式。

線性方程組有三種表達形式，分別是一般形式、矩陣形式和向量形式。[3]

（1）一般形式。

a x +a x +…+a x =b a x +a x +…+a x =b ……a x +a x +…+a x =b ，其中b ，b ，…，b 不全為零時稱為非齊次線性方程組，b ，b ，…b 全為零時稱為齊次線性方程組。

（2）矩陣形式。

Ax=b，其中A= ，x=（x x … x ） ，b=（b b … b ） 。

（3）向量形式。

α x +α x +…α x =b，其中α =（α α … α ） ，j=（1，2，…，n），b=（b b … b ） 。

2.n元線性方程組解的判定。

每個線性方程組的解的情況都是不同的，需要討論解的存在性和唯一性。那么在解具體線性方程組之前應該先預判一下該方程組的解是何種情況，針對它的解挑選合適的方法。一般可以用系數行列式的值或系數矩陣的秩來判斷線性方程組解的情況。

（1）系數行列式。

如果Ax=b的系數行列式A≠0，則方程組有唯一解；如果Ax=b無解或解不唯一，則它的系數行列式A=0；

如果Ax=O的系數行列式A≠0，則方程組只有零解；如果Ax=O有非零解，充要條件是它的系數行列式A=0。

（2）系數矩陣與增廣矩陣的秩。

Ax=b有唯一解 （A）=r（ ）=n有無窮多解 （A）=r（ ）

三、基于線性方程組的“轉換”思想

1.向量組的線性組合。

定義1 給定向量組A：α ，α ，…，α 和向量β，若存在一組數k ，k ，…，k 使β=k α +k α +…+k α ，則稱向量β是向量組A的線性組合，又稱向量β能由向量組A線性表示。

在相關理論部分我們介紹過線性方程組可以表達成向量形式：α x +α x +…+α x =β。可見向量β是否能由向量組A線性表示的問題等價于線性方程組α x +α x +…+α x =β是否有解的問題。

2.向量組的線性相關性。

定義2 給定向量組A：α ，α ，…，α ，如果存在不全為零的一組數k ，k ，…，k 使k α +k α +…+k α =0，則稱向量組A的線性相關，否則稱向量組A線性無關。

向量組A線性相關或無關取決于數k ，k ，…，k 的值是否全為零，我們把求解k ，k ，…，k 問題轉換成齊次線性方程組α x +α x +…+α x =0是否只有零解的問題。

3.矩陣的特征值。

定義3 設A是n階方陣，如果數λ和n維非零向量x使Ax=λx成立，則稱λ為方陣A的特征值，非零向量x稱為方陣A的特征向量。

已知 Ax=λx，移項（λE-A）x=0。方陣A存在非零的特征向量的問題轉化為齊次線性方程組有非零解的問題。[4]

四、結束語

本文概括了在線性代數教學中基于線性方程組 “轉換”思想的三處知識點的三處知識點，分別是向量組的線性組合，向量組的線性相關（無關），矩陣的特征值。基于線性方程組的“轉換”思想主要是把具體的線性問題構建成一個線性方程組的數學模型，用線性方程組解的存在性和唯一性來解釋相應的線性問題。[5]在教學中，使用基于線性方程組的“轉換”思想來講授文中的三個知識點，會通俗易懂，并且具有教學的連續性與一致性。

參考文獻：

[1]劉薇.“生動”教學模式下線性代數的教學設計與實踐[J].安慶師范學院學報（自然科學版），2015，21（3）：110-113.

[2]田曉娟，王利東.加強線性代數計算能力培養的教學模式探討[J].科教文匯，2015，（316）：43-55.

[3]姜愛平.線性代數中矩陣章節基本概念及性質的教學方法探討[J].高師理科學刊，2016，36（3）：48-51.

[4]吳贛昌.線性代數（第4版）[M].北京：中國人民大學出版社，2011.

[5]劉潔晶，任金忠.線性代數課程分層教學探討[J].衡水學院學報，2016，18（1）：105-109.