微積分應用在經濟應用數學中的教學思考

裴勝玉　童浪　李忠輝　李霞　江瑾　黃敬瑜

摘要：數學在經濟生活中的應用非常廣泛，微積分不僅是經濟應用數學中的重要組成部分，同時也是對社會經濟現象進行定性和定量分析的必要工具。在教學過程中，啟發式教學不能單純講理論講方法。本文以投資問題和洛倫茲曲線問題兩類典型應用作為例子，剖析微積分的概念，探索微積分在社會經濟生活服務中的魅力。從而論證了啟發式教學中專業實際相結合的重要性。

關鍵詞：微積分；經濟應用；啟發式教學；洛倫茲曲線

中圖分類號：O172 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）27-0073-03

一、問題情境

（一）導語

恩格斯曾給數學下過一個定義，數學是研究現實生活中數量關系和空間形式的科學[2]。可見數學是其他一切自然科學的根源。在《自然辯證法》中，恩格斯闡述了微積分產生的重大意義，文中闡述：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀下半葉微積分的發明那樣被看作人類精神的最高勝利了”，“自然界運用這些微分即分子時所使用的方式和所依據的規律，完全和數學運用其抽象的微分時的方式和規律相同”。微積分的產生，為其他科學技術的發展提供了重要的理論方法。例如，利用導數研究經濟函數（如需求函數、成本函數、收入函數和利潤函數等）的邊際變化的方法，稱為邊際分析方法，比如邊際成本，邊際收入和邊際利潤，這里的邊際函數，就是它的導數[3][4][5]。

教學主體為財經類院校學生，學生在專業學習中遇到的經濟問題多，但缺乏問題分析的能力，特別是微積分這部分的知識。下面將以投資問題和洛倫茲曲線問題這兩類典型應用作為例子，對微積分在經濟中的應用進行分析和探討。

（二）投資問題[7][10]

問題情境：投資問題是人們常常關注的重要問題之一，人們常說：“理財有風險，投資需謹慎”。通過投資，希望獲取收益的同時，也需要考慮風險問題，投資要為自己的錯誤買單，為自己的正確狂歡。

例1 張三一家人最近考慮購買一套商品房，需要向銀行抵押借貸S=72萬。設貸款年利率為r，每月等額還款，N=30年內還清貸款，每月應還銀行P元。如果銀行的年利率由10%增加到10.3%，試估算張三每月向銀行多付多少貸款？

分析：銀行還款方法有等額本金還款法和等額本息還款法兩種，本例探討的是等額本息還款法。該案例運用到了微積分中的求導法則，微分近似表示。通常把自變量x的增量Δx稱為自變量的微分，記作dx，即dx=Δx。于是函數y=f（x）的微分又可記作dy=f′（x）dx。函數的微分與自變量的微分之商等于該函數的導數。P的求解與變量S，r，N有關，下面計算各月還款后仍所欠貸款。

第1個月：S（1+ ）-P

第2個月：（S（1+ ）-P）（1+ ）-P=S（1+ ） -

P[1+（1+ ）]

第3個月：（（S（1+ ）-P）（1+ ）-P）（1+ ）-P=

S（1+ ） -P[1+（1+ ）+（1+ ） ]

第n個月：S（1+ ） -P[1+（1+ ）+（1+ ） +…+（1+ ） ]

解：（1）P的求解如下

當最后一月還款后，所欠貸款為0。

S（1+ ） -P[1+（1+ ）+（1+ ） +…+

（1+ ） ]=0

？圯720000（1+ ） -P[1+（1+ ）+（1+ ） +…+

（1+ ） ]=0

？圯720000（1+ ） -P =0

？圯P=f（r）=

？圯P=f（0.1）=6318.515305

（2）每月向銀行多付貸款計算如下

ΔP≈dP=f′（r）dr，r=0.1，dr=0.1-0.103=-0.003

f′（r）= +

f′（0.1）=53205.596878828

ΔP≈dP=f′（r）dr=53205.596878828×0.003=159.61679

等額本金還款法和等額本息還款法略有不同，要根據具體情況來選擇相應的還款方法。

（三）洛倫茲曲線問題[7][10]

問題情境：洛倫茲曲線研究的是國民收入在國民之間的分配問題。為了研究國民收入在國民之間的分配問題，美國統計學家（或說奧地利統計學家）M.O.洛倫茲（Max Otto Lorenz，1903- ）1907年（或說1905年）提出了著名的洛倫茲曲線。意大利經濟學家基尼在此基礎上定義了基尼系數。

洛倫茲曲線用以比較和分析一個國家在不同時代或者不同國家在同一時代的財富不平等，該曲線作為一個總結收入和財富分配信息的便利的圖形方法得到廣泛應用。

定義（基尼系數）：設實際收入分配曲線和收入分配絕對平等曲線之間的面積為A，實際收入分配曲線右下方的面積為B。其計算公式如下。

r=

顯然，基尼系數不會大于1，也不會小于零。聯合國有關組織規定，基于“基尼系數”的經濟學判斷。一般來說，一個國家的收入分配，既不是完全不平等，也不是完全平等，而是介于兩者之間。

例2 表2給出了1989年美國家庭收入的具體數據，試運用基尼系數分析該國家庭收入分配差距情況。

分析：表2將1989年美國家庭收入分為8個不同的組，每組對應著相應的家庭戶數，實際收入，利用這些數據材料，首先可以獲得相應的洛倫茲曲線，然后通過非線性多項式擬合的方法近似給出相應曲線的多項式函數，最后通過微積分中的定積分的相關概念求出面積A和B，進而計算獲得基尼系數，并對收入差距情況進行科學判斷。

解：（1）繪制洛倫茲曲線（見下頁圖1）

（2）多項式擬合曲線（見下頁圖2）

（3）求解基尼系數（見下頁圖3）

A+B的面積= f（x）dx= （-0.8977x +12.01x - 29.185x+23.136）dx

≈12.3224083

B的面積= g（x）dx= （0.4998x -9.1692x + 56.096x -124.77x+81.328）dx

≈4.7423133

A的面積= f（x）dx- g（x）dx= （f（x）-g（x））dx=7.580095

基尼系數：r= = = ≈0.615147

因為r≥0.5，根據判斷，1989年美國家庭收入差距懸殊。

在案例2中，本文運用多媒體技術，將美國家庭收入的具體數據運用圖象描繪出來，引導學生通過觀察，理解洛倫茲曲線；更進一步，通過多項式擬合的方式，幫助學生理解曲線的求解思路；最后探討隱藏在數據中的經濟實質問題。

二、結論

本文以投資問題和洛倫茲曲線問題兩類典型應用作為例子，針對財經類專業實際，設置問題情境，通過逐步引導，挖掘本質，將微積分知識闡述到位，牢牢抓住教與學的關系，教是引導，學是主導。運用微積分的相關概念，探索微積分在社會經濟生活服務中的魅力。當然，兩個典型應用不僅僅運用到微積分的相關知識，還運用到了數學歸納法、多項式擬合等理論知識。數學在經濟生活中的應用非常廣泛[6][8][9]，微積分不僅是經濟應用數學中的重要組成部分，同時也是對社會經濟現象進行定性和定量分析的必要工具。通過本文的闡述，論證了啟發式教學中專業實際相結合的重要性。

參考文獻：

[1]陳琦，劉儒德.當代教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2007.

[2]恩格斯.自然辯證法[M].北京：中國人民出版社，1971.

[3]鄒永紅.淺談高等數學中微積分的經濟應用[J].法制與經濟：下旬刊，2009，（1）：127-128.

[4]譚瑞林，劉月芬.微積分在經濟分析中的應用淺析[J].商場現代化，2008，（4）：392-393.

[5]黃燕平.經濟管理專業微積分教學滲透專業思想探究[J].湖南科技學院學報，2009，（8）：12-14.

[6]羅敏娜.基于數學史背景的微積分教學[J].沈陽師范大學學報：自然科學版，2011，（4）：578-580.

[7]劉云芳，胡婷，周海兵.經濟應用數學：微積分[M].武漢：華中科技大學出版社，2015.

[8]吳元芬.論微積分在經濟分析中的應用[J].數學學習與研究，2010，（15）：55-56.

[9]張寶全.“微積分”教學中融入數學文化的教學設計[J].新課程研究：中旬刊，2010，（12）：57-58.

[10]皮利利.經濟應用數學[M].北京：機械工業出版社，2010.