雙指數跳擴散模型下的復合期權定價

何博雅　劉麗霞

【摘要】復合期權是以標準期權作為標的資產的期權，其在企業融資中有著廣泛的應用.本文首先介紹了雙指數跳擴散模型，然后在此模型下應用測度變換的方法推導出了復合期權的定價公式.

【關鍵詞】雙指數跳擴散模型；復合期權；測度變換

一、引言

金融衍生品的定價是現代金融學研究的核心問題之一.金融衍生品是由某種更為基本的變量派生出來的金融產品.期權[1]是指持有者在將來某一特定時間以某一特定價格買入或賣出某種資產的權利.期權價格是期權多頭為了獲取未來的某種權利而支付給空頭的費用.歐式看漲期權是指期權持有者在將來某一規定時間按照某一提前約定的價格買入某種特定資產的權利，其在到期日$T$的收益為max{S（T）-K，0}.而歐式看跌期權是指期權持有者在將來某一規定時間按照某一提前約定的價格賣出某種特定資產的權利，其在T時刻的收益為max{K-S（T），0}.其中S（T）為資產在到期日$T$的價格，K為期權的執行價格.復合期權[1]是以標準期權作為標的資產的期權，其有4種基本形式，分別是：看漲期權的看漲期權（call on call）；看跌期權的看漲期權（call on put）；看漲期權的看跌期權（put on call）；看跌期權的看跌期權（put on put）.很多學者研究了復合期權的定價，1979年，Geske[2]首次研究了復合期權并給出了復合期權的定價；李榮華、戴永紅，和常秦[3]研究了參數依賴于時間的復合期權定價；董翠玲、師恪[4]研究了股票服從跳-擴散過程的復合期權定價模型等.C（t）表示到期日為T2，執行價格為X2的歐式期權C（S（t），T2，X2，w2），則該期權在T1時刻的價格：

C（T1）=e-r（T2-T1）E[max（w2S（T2）-w2X2，0）]，（1.1）

其中w2=±1時C（t）分別為歐式看漲、看跌期權.則以C（t）為標的資產，到期日為T1（T1

V（C（t），T1，K，w1，w2）=e-r（T1-t）E[max（w1C（T1）-w1K，0）]，（1.2）

其中w1=±1，w2=±1時，式（1.1）可分別表示以上四種復合期權.

1976年，Merton用正態跳擴散模型來描述資產價格所發生的變動.它假設股票價格服從復合Possion跳擴散過程，即：

dS（t）S（t-）=（μ-λk）dt+σdW（t）+d∑Nti=1[Vi-1]，（1.3）

其中Vi，i=1，2，…，表示股票價格跳躍比例，是一列非負獨立同分布的隨機變量，Yi=ln（Vi）～N（μy，σ2y），N=Nt，t≥0是強度為正常數λ的Possion過程，k=E（V-1），且W（t）是標準布朗運動，μ，σ為常數.之后很多人研究了跳擴散模型下復合期權定價，如李翠香、石凌[5]研究了基于隨機利率下跳-擴散過程的復合期權定價，雖然Merton的模型已經接近實際的金融市場，但該模型并沒有很好地反映出股票收益分布的不對稱性和尖峰厚尾性以及波動率微笑.在此基礎上，2002年，Kou[6]提出了雙指數跳擴散模型，并給出了雙指數跳擴散模型下歐式期權定價公式.雙指數跳擴散模型指的是資產價格由一個連續變動的幾何布朗運動和一個不連續的、跳躍幅度對數服從雙指數分布的Possion跳過程組成的模型.和Merton跳擴散模型相比，此模型資產的跳躍幅度是非對稱的，其運動是服從無記憶性的，能更好地反映實際市場的情形，并且能夠解釋期權收益的非對稱性和波動率微笑.后來Kou[7，8]等人進一步研究了雙指數跳擴散模型下障礙期權、回望期權、美式永久期權的定價.

本文首先介紹了雙指數跳擴散模型，然后應用測度變換的方法給出了雙指數跳擴散模型下復合期權的定價公式.

二、雙指數跳擴散模型

設（Ω，{it}，P）為帶有σ-域流{it}的概率測度空間，P為風險中性概率測度.在測度P下，資產價格S（t）服從的過程為

dS（t）S（t-）=（μ-λξ）dt+σdW（t）+d∑N（t）i=1[Vi-1]，（2.1）

其中W（t）是測度P下的標準Brown運動，N（t）是服從參數為λ的Possion過程，ξ是指數隨機變量，其均值為η，方差為η2，{Vi}，i=1，2，…是一列獨立同分布序列，且與N（t），W（t）相互獨立，σ為常數，短期無風險利率r為常數，非負隨機變量Yi=ln（Vi）服從非對稱雙指數分布，且Yi的密度函數為

f（y）=pη1e-η1yI{y≥0}+qη2eη2yI{y<0}，（2.2）

其中η1>1，η2>0，p+q=1，p，q≥0表示跳上或者跳下的概率，即P（Yi=ξ+）=p，P（Yi=ξ-）=q.解式（21）得

S（T）=S（t）er-λξ-12σ2 τ+σ（W（T）-W（t））+∑N（τ）i=1Yi，（2.3）

其中τ=T-t，N（τ）=N（T）-N（t）.

定義2.1[6]令

Z（T）-Z（t）=μτ+σ（W（T）-W（t））+∑N（τ）i=1Yi，（2.4）

Yi服從非對稱的雙指數分布，Yi的密度函數為式（22）N（t）為服從參數為λ的Possion過程.定義：

Y（μ，σ，λ，p，η1，η2，w1，τ；A）：=P（w1（Z（T）-Z（t））≥A）.（2.5）

引理2.1[5]設Λ（t）是正的Q-鞅過程，且EQ[Λ（T）]=1.定義概率測度P：P（A）=∫AΛ（T）dQ（記為dPdQ=Λ（T））.則對任意隨機變量X都有

Ep[X|it]=EQΛ（T）Λ（t）X|it.（2.6）

其中EQ[·]，EQ[·|it]分別表示概率測度Q下的期望和條件期望.

引理2.2[5]設在測度Q下，B（t）為Brown運動，N（t）是服從參數為Possion的過程，Yn的密度函數為m（y），如果：H（t）為平方可積的可料過程； ψ≥0；m（y）≥0，∫+∞0m（y）h（y）dy=1.則

Λ（T）=e-12∫T 0H（s）2ds-∫T 0H（s）dB（s）eλT（1-ψ）∏N（T）i=1ψh（ui），（2.7）

是Radon-Nikodym導數過程.定義測度P：

dPdQ=Λ（T），（2.8）

則有

（1）B～（t）=B～（t）+∫t0H（s）ds為測度P下的Brown運動；

（2）N（t）為在測度P下服從參數為λ～=ψλ的Possion過程；Yn在測度P下的密度函數為h（y）m（y）.

定義2.2若T2，T1時刻的資產價格分別為

S（T2）=S（t）er-λξ-12σ2 τ2+σ（W（T2）-W（t））+∑N（τ2）i=1Yi，

S（T1）=S（t）er-λξ-12σ2 τ1+σ（W（T1）-W（t））+∑N（τ1）i=1Yi，

其中Yi服從非對稱的雙指數分布，Yi的密度函數為式（2.2），N（t）為服從參數為λ的Possion過程，τ1=T1-t，τ2=T2-t，N（τ1）=N（T1）-N（t），N（τ2）=N（T2）-N（t），μ=r-λξ-12σ2，ρ（σ（W（T2）-W（t））+∑N（τ2）i=1Yi，σ（W（T1）-W（t））+∑N（τ1）i=1Yi）記為ρ，

定義函數Γ（μ，σ，ρ，λ，p，η1，η2，t，τ1，τ2，w1，w2；A1，A2，）：

Γ（μ，σ，ρ，λ，p，η1，η2，τ1，τ2，w1，w2；A1，A2）：

=Pw2lnS（T2）S（t）≥A2，w1lnS（T1）S（t）≥A1.（2.9）

三、雙指數跳擴散模型下復合期權定價

定理3.1C（t）表示到期日為T2，執行價格為X2的歐式期權C（S（t），T2，X2，w2），則該期權在T1時的價格：C（T1）=e-r（T2-T1）E[max（w2S（T2）-w2X2，0）]，其中w2=±1時C（t）分別為歐式看漲、看跌期權.則以C（t）為標的資產，到期日為T1（T1

V（C（t），T1，K，w1，w2）

=w1w2S（t）Γ（μ～，σ，ρ，λ～，p～，η1～，η2～，τ1，τ2，w1，w2；A1，A2）+w1w2X2e-rτ2Γ（μ，σ，ρ，λ，p，η1，η2，τ1，τ2，w1，w2；A1，A2）+w1Ke-rτ1Y（μ，σ，λ，p，η1，η2，τ1，w1；A1）.（3.1）

其中，τ1=T1-t，τ2=T2-t，w1，w2=±1，μ=r-λξ-12σ2，μ～=r-λξ+12σ2，λ～=（1+ξ）λ，w2lnX2S（t）=A2，w1lnX1S（t）=A1.

證明令τ1=T1-t，τ2=T2-t，μ=r-λξ-12σ2，w2lnX2S（t）=A2，w1lnX1S（t）=A1，

復合期權V（C（t），T1，K，w1，w2）在t時刻的價格：

V（C（t），T1，K，w1，w2）=e-rτ1E[max（w1C（S（T1），T2，X2，w2）-w1K，0）]，（3.2）

其中w1，w2=±1.

因為看漲期權連續單調遞增，看跌期權連續單調遞減，故存在唯一的X1[3]，使得C（X1，T1，X2，w2）=K.所以有w1C（X1，T1，X2，w2）≥w1Kw1S（T1）≥w1X1.

因此，在T1時刻，標的期權C（S（T1），T2，X2，w2）的價格為

C（S（T1），T2，X2，w2）

=e-r（T2-T1）E[max（w2S（T2）-w2X2，0）|iT1]

=e-r（T2-T1）E[w2（S（T2）-X2）I{w2S（T2）≥w2X2}|iT1]

=w2e-r（T2-T1）E[（S（T2）-X2）I{w2S（T2）≥w2X2}|iT1]

=w2e-r（T2-T1）E[S（T2）I{w2S（T2）≥w2X2}|iT1]

-w2X2e-r（T2-T1）E[I{w2S（T2）≥w2X2}|iT1].（3.3）

所以，在時刻t復合期權V（C（t），T1，K，w1，w2）的價格為

V（C（t），T1，K，w1，w2）

=e-rτ1E[max{w1C（S（T1），T2，X2，w2）-w1K，0}|it]

=w1e-rτ1E[（C（S（T1），T2，X2，w2）-K）I{w1S（T1）≥w1X1}|it]

=w1e-rτ1E[C（S（T1），T2，X2，w2）I{w1S（T1）≥w1X1}|it]

-w1Ke-rτ1E[I{w1S（T1）≥w1X1}|it]

=w1e-rτ1E{w2e-r（T2-T1）（E[S（T2）I{w2S（T2）≥w2X2}|iT1]

-X2E[I{w2S（T2）≥w2X2}|FT1]）I{w1S（T1）≥w1X1}|it}

-w1Ke-rτ1E[I{w1S（T1）≥w1X1}|it]

=w1w2e-rτ2E[S（T2）I{w2S（T2）≥w2X2}I{w1S（T1）≥w1X1}|it]

-w1w2X2e-rτ2E[I{w2S（T2）≥w2X2}I{w1S（T1）≥w1X1}|it]

-w1Ke-rτ1E[I{w1S（T1）≥w1X1}|it]

=A-B-C.（3.4）

由定義2.1可得，

C=w1Ke-rτ1E[Iw1lnS（T1）S（t） ≥A1|it]

=w1Ke-rτ1P（w1（μτ1+σ（W（T1）-W（t））+∑N（τ1）i=0Y（i））≥A1）

=w1Ke-rτ1Υ（μ，σ，ρ，η1，η2，τ1，τ2，w1，w2；A1，A2）.（3.5）

由定義2.2可得，

B=w1w2X2e-rτ2E[I{w2S（T2）≥w2X2}I{w1S（T1）≥w1X1}]

=w1w2X2e-rτ2EIw2lnS（T2）S（t） ≥w2lnX2S（t） Iw1lnS（T1）S（t） ≥w2lnX1S（t）

=w1w2X2e-rτ2Pw2μτ2+σ（W（T2）-W（t））+∑N（τ2）i=1Yi

≥A2，w1μτ1+σ（W（T1）-W（t））+∑N（τ1）i=1Yi≥A1

=w1w2X2e-rτ2Γ（μ，σ，ρ，λ，ρ，η1，η2，τ1，τ2，w1，w2；A1，A2）.（3.5）

其中ρ=τ1τ2.

已知在T時刻資產價格S（T）在風險中性測度P下服從

lnS（T）S（t）=r-λξ-12σ2τ+σ（W（T）-W（t））+∑N（τ）i=1Yi，（3.6）

定義Λ（T）=e-12∫T 0σ2ds+∫T 0σdB（s）e-λξT∏N（T）i=1eYi，（3.7）

則Λ（T）是導Radon-Nikdon數，且Λ（T）滿足引理21、引理2.2的條件.

Λ（T2）Λ（t）=e-12σ2τ2+σ（W（T2）-W（t））e-λξτ2∏N（τ2）i=1eYi，（3.8）

定義新測度Q：dQdP=Λ（T2）Λ（t）.（3.9）

由引理2.1、引理2.2得，W～（t）=W（t）-σt為測度Q下的Brown運動，在測度Q下，跳擴散過程中的λ～=λ（1+ξ），h（y）=ey1+ξ，Yi的密度函數為

fY～（y）=h（y）m（y）

=ey1+ξ fY（y）

=pη1（1+ξ）（η1-1）（η1-1）e-（η1-1）yI{y≥0}

+qη2（1+ξ）（η2+1）（η2+1）e（η2+1）yI{y<0}

=p～η1～e-η1～yI{y≥0}+q～η2～eη2～yI{y≥0}.（3.9）

其中p～=pη1（1+ξ）（η1-1），η1～=η1-1，

q～=qη2（1+ξ）（η2+1），η2～=η2+1.

令μ～=r-λξ+12σ2，由引理2.1得，

A=w1w2e-rτ2EP[S（T2）I{w2S（T2）≥w2X2}I{w1S（T1）≥w1X1}|it]

=w1w2S（t）EPΛ（T2）Λ（t）Iw2lnS（T2）S（t） ≥w2lnX2S（t）Iw1lnS（T1）S（t） ≥w2lnX1S（t）it

=w1w2S（t）EQIw2lnS（T2）S（t） ≥w2lnX2S（t）Iw1lnS（T1）S（t） ≥w2lnX1S（t）it

=w1w2S（t）e-rτ2Qw2（μ～τ2+σ（W～（T2）-W～（t））+∑N（τ2）i=1Yi

≥A2，w1μ～τ1+σ（W～（T1）-W～（t））+∑N（τ1）i=1Yi≥A1

=w1w2S（t）Γ（μ～，σ，ρ，λ～，p～，η1～，η2～，τ2，w1，w2；A1，A2）.

因此，

V（C（t），T1，K，w1，w2）

=w1w2S（t）Γ（μ～，σ，ρ，λ～，p～，η1～，η2～，τ1，τ2，w1，w2；A1，A2）+w1w2X2e-rτ2Γ（μ，σ，ρ，λ，p，η1，η2，τ1，τ2，w1，w2；A1，A2）+w1Ke-rτ1Υ（μ，σ，λ，p，η1，η2，τ1，w1；A1），

其中，τ1=T1-t，τ2=T2-t，μ=r-λξ-12σ2，μ～=r-λξ+12σ2，λ～=（1+ξ）λ，w1，w2=±1，w2lnX2S（t）=A2，w1lnX1S（t）=A1.

四、總結

本文在資產價格S（t）服從雙指數跳擴散模型下，利用帶跳的測度變換及鞅方法得到了復合期權的定價.復合期權是以標準的期權作為標的資產的期權，在市場上應用廣泛，因此，求復合期權的定價公式很有現實意義.

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