函數單調性教學的四大要素

顏軍

函數單調性是學生進入高中后較早接觸到的一個完全形式化的抽象定義，對仍然處于經驗型邏輯思維發展階段的高一學生來講，有較大的學習難度.

在函數單調性的教學中關鍵要把握住以下的四大要素.

一、學生學習單調性的認知基礎是什么

學生在學習單調性之前，已經學過一次函數、二次函數、反比例函數等簡單函數，函數的定義以及函數的表示.在多種函數性質中，選擇這個時機來討論函數的單調性而不是其他性質，是因為函數的單調性是學生從已經學習的函數中比較容易發現的一個性質.

函數單調性教學的引入應該從學生的已有認知出發，建立在學生初中已學的一次函數、二次函數以及反比例函數的基礎上，即從學生熟悉的常見函數的圖像出發，直觀感知函數的單調性.

在本環節的教學中，我主要設計了兩個問題：

問題1分別做出函數y=x+2，y=-x+2，y=x2以及y=1x的圖像，并且觀察自變量變化時，函數值有什么變化規律？

在學生畫圖的基礎上，引導學生觀察圖像，獲得信息：第一個圖像從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個圖像從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小.然后讓學生明確，對于自變量變化時，函數值具有這兩種變化規律的函數，我們分別稱為增函數和減函數.

而后兩個函數圖像的上升與下降要分段說明，通過討論使學生明確函數的單調性是對定義域內某個區間而言的，是函數的局部性質.

對于概念教學，若學生能用自己的語言來表述概念的相關屬性，則能更好地理解和掌握概念，因此，我設計了問題2.

問題2能否根據自己的理解說說什么是增函數、減函數？

教學中，我引導學生用自己的語言描述增函數的定義：

如果函數f（x）在某個區間上的圖像從左向右逐漸上升，或者如果函數f（x）在某個區間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數f（x）在該區間上為增函數.

然后讓學生類比描述減函數的定義.至此，學生對函數單調性就有了一個直觀、描述性的認識.

二、為什么要用數學的符號語言定義函數的單調性概念

對函數單調性概念的教學而言，有一個很重要的問題，即為什么要進一步形式化.學生在初中已經接觸過一次函數、反比例函數、二次函數，對函數的增減性已有初步的認識：隨x增大y增大是增函數，隨x增大y減小是減函數.這個觀念對他們而言是易于接受的，很形象，他們會覺得這樣的定義很好，為什么還要費神去進行符號化呢？如果教師能通過教學設計，讓學生感受到進一步符號化、形式化的必要性，造成認知沖突，則學生研究的興趣就會大大提高，主動性也會更強.其實，數學概念就是一系列常識不斷精微化的結果，之所以要進一步形式化，完全是數學精確性、嚴密性的要求，因為只有達到這種符號化、形式化的程度，才可以進行準確的計算，進行推理論證.

三、如何利用形式化的語言定義函數的單調性

一般說，對函數單調性的建構有兩個重要過程，一是建構函數單調性的意義，二是通過思維構造把這個意義用數學的形式化語言加以描述.對函數單調性的意義，學生通過對若干函數圖像的觀察并不難認識，因此，前一過程的建構學習相對比較容易進行.后一過程的進行則有相當的難度，其難就難在用數學的語言來描述函數單調性的定義時，如何才能最大限度地通過學生自己的思維活動來完成.這其中有兩個難點：

1.“x增大”如何用符號表示；同樣，“f（x）增大”如何用符號表示.

2.“‘隨著x增大，函數f（x）‘也增大”，如何用符號表示.

用數學符號描述這兩種數學意義的最大要害之處，在于要用數學的符號來描述動態的數學對象.

問題如何從解析式的角度說明f（x）=x2在[0，+∞）上為增函數？

在教學中，我組織學生先分組探究，然后全班交流，相互補充，并及時對學生的發言進行反饋，評價，對普遍出現的問題組織學生討論，在辨析中達成共識.

教學中，我引導學生用嚴格的數學符號語言歸納、抽象增函數的定義，并讓學生類比得到減函數的定義.然后我指導學生認真閱讀教材中有關單調性的概念，對定義中關鍵的地方進行強調.

① 單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性.

② 有的函數在整個定義域內單調（如一次函數），有的函數只在定義域內的某些區間單調（如二次函數），有的函數根本沒有單調區間（如常函數）.

③ 函數在定義域內的兩個區間A，B上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在A∪B上是增（或減）函數.

四、如何規范用定義法證明函數單調性的解題步驟

對函數單調性的證明，由于前邊有對函數f（x）=x2在[0，+∞）上為增函數的研究作鋪墊，大部分學生能完成取值和求差兩個步驟：

因此，學生的難點主要是兩個函數值求差后的變形方向以及變形的程度.問題主要集中在兩個方面：一方面，部分學生不知道如何變形，不敢動筆；另一方面，部分學生在變形不徹底，理由不充分的情形下就下結論.

針對這兩方面的問題，教學中，我組織學生討論，引導學生回顧函數f（x）=x2在[0，+∞）上為增函數的說明過程，明確變形的主要思路是因式分解.然后我引導學生從已有的認知出發，考慮分組分解法，即把形式相同的項分在一起，變形后容易找到公因式（x1-x2），提取后即可考慮判斷符號.

在上面分析的基礎上，我對證明過程進行規范、完整的板書，引導學生注意證明過程的規范性和嚴謹性，幫助學生養成良好的學習習慣.