近二年中考數學新定義型試題賞析

施存鍔

近幾年來全國各地中考數學試題中出現了一種“新定義”型試題.所謂“新定義”型試題，是指給出一個考生從未接觸過的新概念，要求學生現學現用，其目的是考查考生的閱讀理解能力、接受能力、應變能力和創新能力，旨在培養學生自主學習、主動探究的學習方式.這種題型問題情境新穎，閱讀量明了簡短，讓答題者眼前一亮的同時猶如一股清新之風迎面吹來，令人神清氣爽.在領略了題目的真意之后更體會到了命題人的匠心獨具和創新精神.因此，越來越受到全國各地命題者的青睞，已經成為近幾年中考試題中的一道亮麗風景線，是中考數學試題中的一朵奇葩.而對“新定義”試題的研究及突破對教師的教學和學生的學習都有很高的價值.下面精選幾道2016、2017年全國中考數學試題中出現的“新定義”型試題作一賞析，不妥之處請批評斧正.

一、選擇題

1.（2016·杭州）設a，b是實數，定義@的一種運算如下：a@b=（a+b）2-（a-b）2，則下列結論：

① 若a@b=0，則a=0或b=0；

② a@（b+c）=a@b+a@c；

③ 不存在實數a，b，滿足a@b=a2+5b2；

④ 設a，b是矩形的長和寬，若矩形的周長固定，則當a=b時，a@b最大.

其中正確的是（）.

A.②③④

B.①③④

C.①②④

D.①②③

解① 根據題意得a@b=（a+b）2-（a-b）2，

∴（a+b）2-（a-b）2=0，

整理得（a+b+a-b）（a+b-a+b）=0，即4ab=0，

解得a=0或b=0，正確；

② ∵a@（b+c）=（a+b+c）2-（a-b-c）2=4ab+4ac，

a@b+a@c=（a+b）2-（a-b）2+（a+c）2-（a-c）2=4ab+4ac，

∴a@（b+c）=a@b+a@c正確；

③ a@b=a2+5b2，a@b=（a+b）2-（a-b）2，

令a2+5b2=（a+b）2-（a-b）2，

解得a=0，b=0，故錯誤；

④ ∵a@b=（a+b）2-（a-b）2=4ab，

（a-b）2≥0，則a2-2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab，

∴a2+b2+2ab≥4ab，

∴4ab的最大值是a2+b2+2ab，

此時a2+b2+2ab=4ab，解得a=b，

∴a@b最大時，a=b，故④正確，故選C.

2.（2016·湖州）定義：若點P（a，b）在函數y=1x的圖像上，將以a為二次項系數，b為一次項系數構造的二次函數y=ax2+bx稱為函數y=1x的一個“派生函數”.例如，點2，12在函數y=1x的圖像上，則函數y=2x2+12x稱為函數y=1x的一個“派生函數”.現給出以下兩個命題：

（1）存在函數y=1x的一個“派生函數”，其圖像的對稱軸在y軸的右側；

（2）函數y=1x的所有“派生函數”的圖像都經過同一點.

下列判斷正確的是（）.

A.命題（1）與命題（2）都是真命題

B.命題（1）與命題（2）都是假命題

C.命題（1）是假命題，命題（2）是真命題

D.命題（1）是真命題，命題（2）是假命題

解（1）∵P（a，b）在y=1x上，

∴a和b同號，所以對稱軸在y軸左側，

∴存在函數y=1x的一個“派生函數”，其圖像的對稱軸在y軸的右側是假命題.

（2）∵函數y=1x的所有“派生函數”為y=ax2+bx，

∴x=0時，y=0，

∴所有“派生函數”為y=ax2+bx，經過原點，

∴函數y=1x的所有“派生函數”的圖像都經過同一點，是真命題.

故選C.

二、填空題

3.（2017·山東威海）閱讀理解：如圖1所示，⊙O與直線a，b都相切，不論⊙O如何轉動，直線a，b之間的距離始終保持不變（等于⊙O的直徑），我們把具有這一特性的圖形成為“等寬曲線”，圖2是利用圓的這一特性的例子，將等直徑的圓棍放在物體下面，通過圓棍滾動，用較小的力既可以推動物體前進，據說，古埃及人就是利用這樣的方法將巨石推到金字塔頂的.

拓展應用：如圖3所示的弧三角形（也稱為萊洛三角形）也是“等寬曲線”，如圖4所示，夾在平行線c，d之間的萊洛三角形無論怎么滾動，平行線間的距離始終不變，若直線c，d之間的距離等于2 cm，則萊洛三角形的周長為cm.

解如圖3所示，由題意知AB=BC=AC=2 cm，

∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，

∴AB在以點C為圓心、2為半徑的圓上，

∴AB的長為60·π·2180=2π3，

則萊洛三角形的周長為2π2×3=2π，

故答案為2π.

三、解答題

4.（2017·重慶市A卷）對任意一個三位數n，如果n滿足各個數位上的數字互不相同，且都不為零，那么稱這個數為“相異數”，將一個“相異數”任意兩個數位上的數字對調后可以得到三個不同的新三位數，把這三個新三位數的和與111的商記為F（n）.例如，n=123，對調百位與十位上的數字得到213，對調百位與個位上的數字得到321，對調十位與個位上的數字得到132，這三個新三位數的和為213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6.

（1）計算F（243），F（617）；

（2）若s，t都是“相異數”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整數），規定：k=F（s）F（t），當F（s）+F（t）=18時，求k的最大值.

解（1）F（243）=（423+342+234）÷111=9；

F（617）=（617+176+671）÷111=14.

（2）∵s，t都是“相異數”，s=100x+32，t=150+y，

∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6.

∵F（t）+F（s）=18，

∴x+5+y+6=x+y+11=18，

∴x+y=7.

∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整數，

∴x=1，y=6， 或x=2，y=5， 或x=3，y=4， 或x=4，y=3， 或x=5，y=2， 或x=6，y=1.

∵s是“相異數”，∴x≠2，x≠3.

∵t是“相異數”，∴y≠1，y≠5.

∴x=1，y=6， 或x=4，y=3， 或x=5，y=2，

∴F（s）=6，F（t）=12， 或F（s）=9，F（t）=9， 或F（s）=10，F（t）=8，

∴k=F（s）F（t）=12或k=F（s）F（t）=1或k=F（s）F（t）=54，

∴k的最大值為54.

綜上所述，新定義題型在中考試題中以選擇題、填空題、解答題的形式出現，試題涉及對純代數或純幾何知識點或代數和幾何相結合的綜合題型的考查，有種亂花漸欲迷人眼的感覺，但也有其解答策略.一般是運用新定義的法則轉化成常規方法解答的題型即可.新定義型試題考查了學生的閱讀能力、遷移能力和創新能力，旨在培養學生自主學習、主動探究的學習方式，又給學生創造了一個探索創新的機會，是中考數學試題的一個亮點；新定義型試題鼓勵重視數學應用的教與學，用相關的知識靈活解決問題.在解決這一問題的時候，閱讀理解能力成為打開問題第一道大門的“金鑰匙”，所以平時對學生數學閱讀能力的培養必須重視起來.新定義題型立足于課標，不拘泥于課標，新穎而迷人眼的問題情境要求教師培養學生透過現象看問題本質的方法；要求教師在完成教學任務同時注重學生創新思維能力的培養，也為教師日常教學工作指明了新的導向.千變萬化的題型，迥異的解答策略，是數學魅力所在，更是命題人的創新精神所在.也是我們教育工作者必備的精神品質.