活用數形結合思想求解含參問題

段福彪

【摘要】數形結合思想是高中常用的數學思想方法之一，它能使學生感受到數學之美妙及數形結合的直觀形象，激發起學生探索的意識和創新欲望，突破思維的常規，使思路更簡捷、明快.采用數形結合的思想來解決二次方程根的分布、求值域等問題更是如此，能培養學生思維的靈活性，拓寬學生的知識面.

【關鍵詞】數形結合思想；根的分布；值域；不等式

一些數學問題，所給的是方程的根或者是函數的極值點等，若按常規思維來解，有難度，且運算過程繁雜，這時巧用數形結合，就能起到事半功倍之功效.下面就數形結合在二次方程根的分布、求值域、證明不等式中的應用舉例如下.

一、在二次方程根的分布中的應用

例1設一元二次方程ax2-（3a+1）x+3=0的兩根為x1，x2，且1

分析本題如果按常規解法，利用一元二次方程根的分布來解，需要考慮判別式、兩根之和、兩根之積的范圍等問題，運算繁雜，而且要分類討論.巧用數形結合，將方程問題轉化為函數問題，觀察函數圖形問題便可輕松解得.

或

解設f（x）=ax2-（3a+1）x+3，因為10，af（2）<0-a2+a>0，-2a2+a<0， 解得：a12

因此，實數a的取值范圍a12

解后反思：對于一元二次方程根的分布問題，當兩根分布在兩個區間上時只考慮區間端點的函數值與零的關系，而不考慮判別式和對稱軸；當兩根分布在一個區間上時應該從三方面考慮（1）考慮區間端點的函數值與零的關系；（2）考慮判別式；（3）考慮對稱軸：可根據對稱軸所在區間的位置寫出等價式.另外當二次函數的二次項系數含有參數時，改為二次項系數乘根所在區間端點的函數值與零的關系問題，觀察圖像便可得出結論.

二、在求函數最值中的應用

例2已知函數f（x）=-x2+2x-3，對于任意實數t，探究f（x）在閉區間[t，t+1]上的最大（小）值.

分析本題屬于二次函數中“軸定區間動”的問題.根據t的不同取值范圍，數形結合，使區間[t，t+1]“處”在f（x）的不同區間上問題即可解決.

解法略.

三、在證明不等式中的應用

例3（2009年全國高考數學試卷理（Ⅰ）第22題）設函數f（x）=x3+3bx2+3cx有兩個極值點x1，x2，且x1∈[-1，0]，x2∈[1，2].

（Ⅰ）求b，c滿足的約束條件，并在下面的坐標平面內，畫出滿足這些條件的點（b，c）的區域；

（Ⅱ）證明：-10≤f（x2）≤-12.

分析對于問題（Ⅰ），仍發揮數形結合的優勢，便可知道導函數的兩個根在區間上分布時滿足的條件，b，c滿足的線性約束條件輕松可得，問題便迎刃而解.

對于問題（Ⅱ），我們似乎無從下手.但仔細分析題目的條件就可知道，x2是原函數的極值點，就是導函數等于零的一個根，利用這個根滿足的條件x2∈[1，2]，結合問題（Ⅰ）中數形結合得到c的范圍就有柳暗花明的感覺，證明的問題也一蹴而就了.

解（Ⅰ）略.

（Ⅱ）由題設知f′（x2）=3x22+6bx2+3c=0，

故bx2=-12x22-12c，

于是f（x2）=x32+3bx22+3cx2=-12x32-3c2x2.

由于x2∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，

故-4+3c≤f（x2）≤-12+32c.

又由（Ⅰ）知-2≤c≤0，

所以-10≤f（x2）≤-12，問題得證.

總之在解決函數中的問題時，采用數形結合的思想來思考會給我們帶來意想不到的效果.尤其是可轉化為一元二次方程根的分布問題，用數形結合更有居高臨下“一覽眾山小”的感覺.

【參考文獻】

[1]甘肅省教育科學研究所.學業質量模塊測評·數學（必修1）[M].蘭州：甘肅教育出版社，2011.

[2]薛金星.2009年全國及各省市高考試題全解[M].西安：陜西人民教育出版社，2009.