例說分離參數(shù)在導數(shù)部分的幾類具體應用

牛傳勇

【摘要】分離參數(shù)是求參數(shù)或字母取值范圍的一種常用方法，分離參數(shù)能起到將未知和已知分隔和轉(zhuǎn)化的目的.本文通過函數(shù)單調(diào)性、不等式恒成立、不等式存在或有解、函數(shù)有零點、方程根的問題入手，做簡要介紹，其中函數(shù)單調(diào)性的是分參之后必須要考慮的切入口，所有這些問題解題的關鍵是分參之后將原問題轉(zhuǎn)化為含主元函數(shù)的值域或最值問題.

【關鍵詞】分離參數(shù)；單調(diào)性；恒成立；存在；零點

一、利用分離參數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題

例1已知函數(shù)f（x）=3xa-2x2+lnx，其中a為常數(shù).

解f′（x）=3a-4x+1x，

因為函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)函數(shù)，即對任意x∈[1，2]，f′（x）=3a-4x+1x≥0或f′（x）=3a-4x+1x≤0，即3a-4x+1x≥0或3a-4x+1x≤0在[1，2]上恒成立.

即3a≥4x-1x或3a≤4x-1x.

令h（x）=4x-1x，因為函數(shù)h（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，

所以3a≥h（x）max=h（2）或3a≤h（x）min=h（1），

即3a≥152或3a≤3，解得a<0或0

所以a的取值范圍是aa<0或0

題后反思：（1）已知函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)范圍可以轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題；f（x）為增函數(shù)的充要條件是對任意的x∈（a，b）都有f′（x）≥0且在（a，b）內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f′（x）≠0.應注意此時式子中的等號不能省略，否則漏解.

（2）涉及恒成立不等式中變量的取值范圍問題，當f（x）在給定定義域上有最大值或最小值時，可根據(jù)a>f（x）恒成立a>f（x）max，a

二、利用分離參數(shù)解決不等式的恒成立問題

例2設t=h（x）=2x-12x，p（t）=t2+2mt+m2-m+1.若p（t）≥m2-m-1對于x∈[1，2]恒成立，求m的取值范圍.

因為t=h（x）在x∈[1，2]單調(diào)遞增，所以32≤t≤154.

所以p（t）=t2+2mt+m2-m+1≥m2-m-1對于t∈32，154恒成立，

所以m≥-t2+22t對于t∈32，154恒成立，

令φ（t）=-t2+22t，則φ′（t）=122t2-1，

因為t∈32，154，所以φ′（t）=122t2-1<0，

故φ（t）=-t2+22t在t∈32，154上單調(diào)遞減，

所以φ（t）max=φ32=-1712，所以m的取值范圍是-1712+∞.

題后反思：（1）本題通過分離參數(shù)將問題轉(zhuǎn)化φ（t）=-t2+22t在t∈32，154時的最大值.規(guī)律顯示，求較復雜函數(shù)的區(qū)間最值時，往往以導數(shù)為工具體，首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的最值，這已基本上成為一種定式.

（2）當然本題也可以不分參，轉(zhuǎn)化為區(qū)間上二次函數(shù)的問題來解決，這里不累贅.

三、利用分離參數(shù)解決不等式的存在性（有解）問題

例3設f（x）=13x3-x+3，g（x）=lnx-mx，若存在x∈[1，e]，使g（x）

解由已知得：存在x∈[1，e]，使lnx-mx

即存在x∈[1，e]，使m>xlnx-x3+x.

設M（x）=xlnx-x3+x，x∈[1，e]，

則M′（x）=lnx-3x2+2.

設H（x）=M′（x）=lnx-3x2+2，

則H′（x）=1x-6x=1-6x2x.

因為x∈[1，e]，所以H′（x）<0，即H（x）在[1，e]上遞減，于是，H（e）≤H（x）≤H（1），即3-3e2≤H（x）≤-1<0，即M′（x）<0，

所以M（x）在[1，e]上遞減，

所以M（x）≥M（e）=2e-e3.

于是m>2e-e3，即實數(shù)m的取值范圍是（2e-e3，+∞）.

題后反思：存在性問題，如果是分離參數(shù)去解決，解題途徑與其他問題基本相同，都是分離參數(shù)后，直接利用導數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出相應函數(shù)的最值，或首先構造函數(shù)，再利用導數(shù)判斷出構造函數(shù)的單調(diào)性，最終求出構造函數(shù)的最值.當f（x）在給定定義域上有最大值或最小值時，可根據(jù)存在x∈I使得a>f（x）a>f（x）min，存在x∈I使得a

四、利用分離參數(shù)解決函數(shù)的零點問題

例4設函數(shù)f（x）=x2-2lnx，h（x）=x2-x+a.若函數(shù)k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有兩個不同零點，求實數(shù)a的取值范圍.

解函數(shù)k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有兩個不同的零點，

等價于方程x-2lnx=a在[1，3]上恰有兩個相異實根.

令g（x）=x-2lnx，則g′（x）=1-2x.

當x∈[1，2）時，g′（x）<0，當x∈（2，3]時，g′（x）>0，

g（x）在[1，2）上是單調(diào)遞減函數(shù)，在（2，3]上是單調(diào)遞增函數(shù).

故g（x）min=g（2）=2-2ln2.

又g（1）=1，g（3）=3-2ln3，

因為g（1）>g（3），所以只需g（2）

故a的取值范圍是（2-2ln2，3-2ln3]；

題后反思：通過分離參數(shù)，將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為區(qū)間上兩函數(shù)圖像的交點個數(shù)問題，分參之后轉(zhuǎn)化成為a=f（x），（1）原函數(shù)在區(qū)間I上有零點，求f（x）在區(qū)間I上值域；（2）原函數(shù)在區(qū)間I上零點個數(shù)，取決于y=a和y=f（x）公共點的個數(shù).

從以上分析可以看出，借助分離參數(shù)，用函數(shù)的觀點討論含有主元表達式的變化情況，由此確定參數(shù)的變化范圍，分離參數(shù)的積極意義在于它可以避免直接分類討論帶來的麻煩，從而使問題得到有效解決.