淺談圓的性質在橢圓中的推廣及應用

李盛林

【摘要】類比思維是數學研究中常用的一種思維方式，在中學階段數學領域當中根據圓的性質可以推導出橢圓的性質.本文利用類比思維和推導法等數學研究方法對中學階段數學幾何學當中圓與橢圓之間的性質關系進行了分類研究，通過圓的基本性質推導得出橢圓的基本性質，可以為關注這一方面的教師們提供一些可信度較高的參考意見，提高中學生幾何學的學習能力.

【關鍵詞】圓的性質；橢圓的性質；類比思維

隨著我國國民經濟的增長，社會各界對我國教育事業，特別是中學階段的數學幾何教學領域關注程度越來越高.在此種環境背景下，中學數學教師需要不斷進行教學方法的創新性發展，根據中學階段學生們的學習特點和對知識的接受水平，研究出更加具有實際應用價值的新型教學法.其中最具有代表性的就是利用類比思維研究和推導圓和橢圓的性質關系，在中學數學課堂教學中具有良好的應用價值.

一、根據圓的面積類比求出橢圓的面積

圓的性質有很多，因為圓和橢圓之間較為相似，而類比知識恰好能夠在其中得到全面的應用，通過對圓的面積性質、非零斜率、弦性規律等內容的了解，能夠對應用到橢圓知識中去，從而更好地學習橢圓知識[1].

（一）性質內容

假設圓O的半徑為a，根據圓的面積計算公式可以得知圓的面積應該為πa2，而由于兩條半徑構成一條直徑，因此，可以將圓的面積計算理解為πa·a；通過這一性質內容進行類比分析，能夠對橢圓的面積進行計算.與圓的半徑不同，橢圓當中分別具有長半軸和短半軸，當橢圓的長半軸長為a，短半軸長度為b，則可以對橢圓的面積進行求解，可以得到πab.

（二）類比所得橢圓的性質內容

橢圓和圓在面積的計算當中，都涉及了π的概念，而與圓面積相比，橢圓的面積計算，也是半徑的長度和π之間的關系的研究，因此，可以將橢圓理解成為沿著豎直方向上的圓的等比例壓縮，而在水平方向上，長度則始終保持不變，豎直方向上a轉變成為b，因此，結合圓的面積計算方法可以獲知橢圓的面積計算公式為πab.

二、根據圓的切線方程類比出橢圓的切線方程

（一）性質內容

設圓O的方程為x2+y2=r2，而p（x0，y0）為圓上的某一點，則可以推理得出經過點p的切線方程為x0x+y0y=r2.通過這一性質可以與橢圓進行類比.在橢圓中，橢圓的標準方程為x2a2+y2b2=1，其中，a>b>0，而點p（x0，y0）則為橢圓上的一點，因此，可以類比得到過點p的切線方程為x0xa2+y0yb2=1.

（二）類比所得橢圓的性質內容

設橢圓在點p處的切線方程為y-y0=k（x-x0），通過與橢圓標準方程進行聯立，就可以獲得一個關于x的標準方程.其中，橢圓的標準方程如上文所示為x2a2+y2b2=1，通過聯立法可以用x對y進行表示，從而消除y，得到一元二次方程.而在計算題干當中，點p（x0，y0）與所計算的橢圓相切，表明方程只存在一個解，因此，可以得知，Δ=0，從而能夠得到過點p的切線的斜率k，通過化簡方程，最終可以求得過點p的切線方程為x0xa2+y0yb2=1.

三、根據圓的非零斜率類比出橢圓的非零斜率

（一）性質內容

在圓的第三個定理中，假設AB是圓O的半徑，P為圓O上的任意一點，分別連接PA和PB兩點后，直線PA，PB都會存在非零斜率，分別為kPA，kPB，而且kPAkPB=1.

（二）類比所得橢圓的性質內容

因此，可知，如果AB為橢圓過坐標原點產生的線段，而P為橢圓上的任意一點，此時，連接PA，PB，也會存在非零斜率，且kPAkPB=-b2a2.假設A（acosθ，bsinθ），而P（acosφ，bsinφ），那么B（-acosθ，-bsinθ）.經過對PA，PB的非零斜率計算后，就能夠得出具體的結論.

四、圓的弦性定理類比出橢圓的弦性定理

（一）性質內容

圓的第四個定理中，AB，CD是圓O的兩條弦，而直線AB，CD相交于點P，則PA·PB=PD·PC.

（二）類比所得橢圓的性質內容

由上述內容可以推斷出如果在條件相同的橢圓中，也會存在PA·PB=PD·PC.設兩條直線之間形成的傾斜角為θ、φ，相交點P的坐標為（x0，y0），那么兩條弦中AB的參數方程就能夠表示出來，繼而將AB的參數方程帶入到橢圓方程中，并且進行進一步的簡化，并且根據參數t的幾何意義，就能夠驗證這一定理.

五、圓的切線性質類比出橢圓切線定理

（一）性質內容

在圓的性質中還存在一個切線定理，AB是圓C和x軸相交形成的直徑，且直線l和x軸垂直，此時經過圓上任意一點P，且不同于A，B兩點，分別作直線PA和PB，與直線l相交于M，N連點，此時將MN線段的中點Q和圓C上的點P相連，則直線PQ是圓C的切線[2].

（二）類比所得橢圓的性質

由此可以推斷出，如果在條件相同的橢圓中，直線PQ也會是橢圓C的切線.證明：橢圓上P點坐標為（x0，y0），而直線PA，PB的斜率為k1和k2，此時k1+k2=2b2x0a2y0，最終求得MN的中點Q的坐標，推理出直線PQ和橢圓相切.

六、總結

綜上所述，在新課程改革不斷深化發展的背景下，我國中學階段的數學教師需要不斷提高自身的專業素質和創新能力，在為學生們講解新的理論知識時，可以通過引入舊知識的方式，為學生們奠定良好的學習基礎，降低學生們在面對未知領域知識學習的心理負擔.對中學生而言，利用類比思維進行學習，可以幫助自身提高知識遷移和應用能力，最終培養起全局思維的能力.

【參考文獻】

[1]王新宏.圓的性質在橢圓中的推廣及其簡單應用[J].數理化學習（高三版），2013（8）：15-16.

[2]趙愛祥.橢圓性質及其應用[J].湖南城市學院學報（自然科學版），2015（4）：73-74.