善捕教育契機做智慧教師

朱婉華

【關鍵詞】善捕；“錯誤資源”；利用

在教學過程中，教師、學生根據自身已有的知識，經驗與理解水平嘗試探索和解決問題時，肯定會出現偏差或失誤，這些都是動態生成的課堂資源，作為教師應具有強烈的資源意識，善于抓住教育契機，能機智巧妙地加以研究、開發和利用，使之成為寶貴的教學資源，將學生從錯誤中解脫出來，實現教學相長，實現教師由課程實施中的執行者向課程的建設者和開發者轉變.現在就此談談本人在初中數學教學過程中對“錯誤資源”的利用.

一、引進“錯誤”素材，探究錯誤成因，拓展學生思維

在教學過程中，教師要善于捕捉學生認知過程中的錯誤，使之成為寶貴的教學素材，暴露錯誤的過程，不能認為糾正了錯誤就達到了目的，應引導學生進一步反思錯誤的成因，剖析錯誤思想的來龍去脈，挖掘背后隱藏的價值從而完善數學知識結構，拓展思維領域.

例如，2003年某市中考試題：已知實數a，b滿足條件2a2+a-1=0，2b2+b-1=0，則1a+1b的值為（）.

A.-2

B.1

C.-12

D.4

細心探究，此題若是單選題則是一道錯題，無正確選項.我將此題布置給學生，發現許多學生選B，當我宣布沒有正確選項時，教室里一片嘩然，學生們都投來懷疑的目光，于是我首先讓學生暴露出自己的錯誤解法：

把a，b看作一元二次方程2x2+x-1=0的兩根，由根與系數關系：a+b=-12，ab=-12，∴1a+1b=a+bab=1，故選B.

通過與學生的討論交流，找到了錯因，題干中沒有明確a，b的關系，應分情況討論.

1.若a≠b時，就是同學們的解答.

2.若a=b時，解方程2x2+x-1=0得x1=12，x2=-1.

（1）當a=b=12時，1a+1b=4；（2）當a=b=-1時，1a+1b=-2.

綜上，1a+1b的值為1或4或-2.

由此進行方法歸納，完善學生的知識結構：1.考慮問題盡量周全，分類討論做到不重不漏；2.構造法是解決數學問題的常用方法，構造一元二次方程的依據為方程根的定義（如上題）或根與系數的關系（以x1，x2為根的一元二次方程為x2-（x1+x2）x+x1x2=0）；3.熟練選擇適當方法解一元二次方程的同時靈活運用根與系數的關系，求相關代數式的值會收到事半功倍的效果.

二、設“疑”引“錯”，激發學生的求知欲望，大膽質疑，培養學生的批判精神

某同學在一本練習冊中發現下面的一道選擇題：Rt△ABC的面積為5 cm2，斜邊c為4 cm，則tanA+tanB的值為（）.

A.85

B.165

C.58

D.無解

某同學的解答是：

在Rt△ABC中，tanA=ab，tanB=ba，

∴tanA+tanB=ab+ba=a2+b2ab.

而12ab=5，∴ab=10.

又c=4，∴a2+b2=c2=16，∴tanA+tanB=1610=85，

故選A.

可答案是D無解，為什么呢？

我將這一問題放到數學課堂上，引發了學生的大討論，同學們認為某同學解答過程沒有錯，那么問題出在哪里呢？通過設“疑”引“錯”，引發認知沖突，從而激起學生強烈的探索愿望和學習興致，在這一節課堂上充分體現學生的主體性，為學生提供了平等交流的平臺，鼓勵學生大膽質疑，耐心引導學生敢用批判的視角看問題，敢于提出異議，發表自己獨到的見解.通過教師循循善誘的引導和同學們的討論，最后同學中出現了三種不同的解法思路.

思路一由題意，得12ab=5，①

a2+b2=16.②

由①得2ab=20.③

②+③得（a+b）2=36.

∵a+b>0，∴a+b=6.

②-③得（a-b）2=-4不成立，∴故選D.

思路二如圖所示，作CD⊥AB于D，由題意得12×4·CD=5，∴CD=52.

設AD=x，則BD=4-x.

由△CAD∽△BCD得CD2=AD·BD，

即522=x（4-x），

整理得x2-4x+254=0.

∵Δ=（-4）2-4×254=-9<0，

此方程無解，故選D.

思路三已知線段AB=4 cm，以AB為直徑作半圓，C為半圓上一動點（點C不與A，B重合）連接AC，BC，則∠BCA=90°，過點C作CD⊥AB于D（如圖所示），觀察圖形知：當點D與圓心重合時，CD最大為半徑長，此時△ABC的面積最大是12AB·CD=12×4×2=4 cm2.

由此可見，原題中給定面積為5 cm2是不符合實際的，所以“無解”才是應選的答案.

為了進一步增強學生的自信心，我還鼓勵學生之間找差錯，如，題目“一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是否一定是平行四邊形？如果一定是，請給出證明，如果不一定是，請舉出反例”.

部分學生認為一定是平行四邊形，并給出了“證明”，部分學生的答案“不一定”，舉出的反例各色各樣，其中一名學生的反例很特別：

（如圖所示）在等腰△ABC的底邊BC上任意找一點D，（D不是中點），連接AD，把△ACD沿AD翻折得△AC′D，此時四邊形ACDC′符合“一組對邊相等，一組對角相等”，但不是平行四邊形.學生們據理力爭，以“理”服人，也能找到給出的“證明”問題的要害，見此情境，沒有哪個做教師的不感到欣慰！學生們在爭論中理清了思路，辨明是非.在整個教學過程中，教師要以坦蕩的態度對待學生的觀點，給學生一個表達的機會，鼓勵學生不盲從，大膽質疑，引導學生在質疑

中生成知識和能力，從而增強學生的自信心，培養學生勇于批判的創新精神.

三、善于收集，整理、交流錯誤，編制“錯誤集”，提高判別能力

認知過程中的錯誤，通常不能一次性得以解決，教師要指導學生養成收集、整理、交流錯誤的習慣，善于從課堂練習、作業、單元測驗、期中、期末考試等方面，收集引起錯誤的例子、標明錯解的分析過程，主要包括：1.為什么出錯，主要原因是什么？2.如何糾正？錯誤中可否有合理成分？3.可否變通、延伸？將它們收藏到“錯誤集”中，并不定期地調出來溫故，善于定期地整理、歸納錯誤，在小單元、章節、期中、期末的復習中，將“錯誤集”進行對比、評價、分類，按知識的系統化、典型的、具有代表性的題進行總結與歸納，從而整理成條理性較強、結構性好的“錯誤集”.善于與人交流分享“錯誤集”，交流收集、歸納錯誤的心得，集眾人之長，提高效率，通過積累錯誤，總結錯誤，交流錯誤，訓練了學生思維的條理性，克服了思維混亂現象，從而提高學生的判別能力.

總之，學生在學習過程中由于本身的認知水平的限制，出現學習障礙或解題錯誤，是不可避免的，教師要善待學生的錯誤，營造一個寬容的環境，引導學生珍惜“錯誤”，正視“錯誤”，理解“錯誤”，利用“錯誤”，從而完善知識結構，減少錯誤，增強學習自信心，激發學習興趣，培養歸納整理能力和堅忍不拔的學習毅力.