拋物線中的點線對偶問題（三）

金鑫　費(fèi)連花

五、軸定點改為內(nèi)定點

例6求證：過拋物線內(nèi)定點G的直線交拋物線于A，B兩點，作拋物線A，B兩點切線，交于P點，P點軌跡為直線l1.

證明設(shè)A，B，G坐標(biāo)為（x1，y1），（x2，y2），（x0，y0），

lAP：yy1=p（x+x1），

lBP：yy2=p（x+x2）.

聯(lián)立得xP=y1y22p，

yP=y1+y22，

lAB：2px-（y1+y2）y+y1y2=0.

∵拋物線過G點，∴2px0-（y1+y2）y0+y1y2=0，

∴2px0-2yPy0+2pxP=0，

∴P點軌跡方程為px-y0y+px0=0.

六、定點不動變切為割

接下來讓我們研究的內(nèi)容更深入一下，讓定點不變，比如，定點就是焦點，或者定點就是x正半軸上的任意點，又或者是拋物線內(nèi)部任意的定點，然后讓切線變成割線又會如何呢？問題將變得越來越有意思，請看例題.

例7求證：拋物線的任意兩焦點弦端點所在直線交點的軌跡是準(zhǔn)線.

證明設(shè)A，B，C，D的坐標(biāo)為（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），

lAB：2px-（y1+y2）y+y1y2=0，

lCD：2px-（y3+y4）y+y3y4=0，

∵直線AB，CD過F點，

∴y1y2=y3y4=-p2，

lAD：2px-（y1+y4）y+y1y4=0，

lBC：2px-（y2+y3）y+y2y3=0.

聯(lián)立直線AD，BC方程，消y得

2px+y1y4y1+y4=2px+y2y3y2+y3，

2px（y2+y3）+y1y2y4+y1y3y4=2px（y1+y4）+y1y2y3+y2y3y4，

2px（y2+y3-y1-y4）=p2（y1+y4-y2-y3），x=-p2.

例8求證：過拋物線對稱軸上任意一定點G（c，0）的兩條弦端點的直線的交點的軌跡是一定直線x=-c.

證明設(shè)A，B，C，D的坐標(biāo)為（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），

lAB：2px-（y1+y2）y+y1y2=0，

lCD：2px-（y3+y4）y+y3y4=0.

∵直線AB，CD過F點，

∴y1y2=y3y4=-2pc，

lAD：2px-（y1+y4）y+y1y4=0，

lBC：2px-（y2+y3）y+y2y3=0.

聯(lián)立直線AD，BC方程消y得

2px+y1y4y1+y4=2px+y2y3y2+y3，

2px（y2+y3）+y1y2y4+y1y3y4=2px（y1+y4）+y1y2y3+y2y3y4，

2px（y2+y3-y1-y4）=2pc（y1+y4-y2-y3），x=-c.

例9求證：過拋物線內(nèi)定點G的兩條直線分別交拋物線于A，B和C，D，直線AC和BD交于P點，P點軌跡為直線l1.

證明設(shè)A，B，C，D的坐標(biāo)為（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），

G點坐標(biāo)設(shè)為（x0，y0），

lAB：2px-（y1+y2）y+y1y2=0，

lCD：2px-（y3+y4）y+y3y4=0.

∵直線AB，CD過F點，

∴2px0-（y1+y2）y0+y1y2=0，①

2px0-（y3+y4）y0+y3y4=0，②

lAD：2px-（y1+y4）y+y1y4=0，

lBC：2px-（y2+y3）y+y2y3=0.

聯(lián)立得xP=（y1+y4）y2y3-（y2+y3）y1y42p（y2+y3-y1-y4），

yP=2p（y2y3-y1y4）y2+y3-y1-y4，

將①和②代入上面的解中可得

xP=2y0（y2y3-y1y4）-2px0（y2+y3-y1-y4）2p（y2+y3-y1-y4）

=y0pyP-x0，

∴P點軌跡方程為px-y0y+px0=0.

最后三道例題說明：這種割線方程的使用在這里非常好用，原因在于它本身不光是割線的方程，還能夠直接地將過定點的幾何關(guān)系通過根與系數(shù)的關(guān)系快速表達(dá)出來.

總結(jié)：表面上這三篇以定點為線索，實為在敘述拋物線點與線對偶問題，這種對偶關(guān)系帶來了太多的精彩，而本文僅僅敘述了一些基礎(chǔ)內(nèi)容，實為遺憾，希望這些可以給讀者啟發(fā).