淺談不等式證明中常用的放縮技巧

許國會　王涵　匡佳佳

【摘要】數列不等式證明是高考的重要題型，本文總結了一些常用的放縮技巧以及相應的例題以幫助學生進一步理解，包括裂項放縮、并項放縮、利用基本不等式放縮等.

【關鍵詞】數列不等式；放縮技巧；高考

數列不等式證明是高考的重要題型，其中恰當放縮是解決不等式問題的重點也是難點所在.高考中常常將其作為壓軸題的命題熱點，這類題技巧性強，學生不易處理.本文總結了一些常用的放縮技巧以幫助學生快速解題.

一、裂項放縮

裂項放縮一般是針對通項是分式的數列，通過將分式拆分為兩個分式之和或差，目的是通分化簡為兩個整式之和或差，以方便計算.

例1已知S=13+15+17+…+199，求S的整數部分.

解由題意可得一般項12n+1=22n+1+2n+1<22n+1+2n-1=2n+1-2n-1，

因此13+15+17+…+12n+1<（3-1）+（5-3）+（7-5）+…+（2n+1-2n-1）=2n+1-1.

又因為12n+1=22n+1+2n+1>22n+1+2n+3=2n+3-2n+1，

因此13+15+17+…+12n+1>（5-3）+（7-5）+…+（2n+3-2n+1）=2n+3-3.

綜上所述，2n+3-3

即8.32≈101-3

所以，S的整數部分為8.

評注本題利用12n+1<22n+1+2n-1及12n+1>22n+1+2n+3放縮為某兩項的差，逐項相消，得到S的取值范圍，進而得到S的整數部分.

二、并項放縮

并項放縮則剛好與裂項放縮相反，觀察數列的通項發現很難放縮，但將數列幾項合并為一項后再放縮會更加簡單，這一方法的關鍵在于如何恰當地重組.

例2已知數列{an}的通項公式為an=2n-（-1）n-1，求證n∈N+時，1a1+1a2+…+1a2n-1+1a2n<1.

證明由題意當k為正奇數時，1ak+1ak+1=12k+1+12k+1-1=3×2k22k+1+2k-1<32k+1.

當n∈N+時，1a1+1a2+…+1a2n-1+1a2n=1a1+1a2+1a3+1a4+…+1a2n-1+1a2n<322+324+…+322n=3×141-14n1-14=1-14n<1，得證.

評注本題若將兩項合為一項再進行放縮，即證明當k為正奇數時，1ak+1ak+1<32k+1，此時不等式右邊就是一個新的等比數列求和，進而得到結論.

三、利用基本不等式放縮

基本不等式本身就存在放縮，常用的基本不等式有a2+b2≥2ab，a+b≥2ab，ab+ba≥2（ab>0）等一些變形公式.對于一些結論中有相關不等式的證明不失為一種有效的方法.

例3已知an=5n-4，證明5amn-aman>1對任何正整數m，n都成立.

證明要證5amn-aman>1即證5amn>1+aman+2aman.

因為amn=5mn-4，aman=（5m-4）（5n-4）=25mn-20（m+n）+16，

即只需要證5（5mn-4）>1+25mn-20（m+n）+16+2aman，

即證明20m+20n-37>2aman.

因為2aman≤am+an=5m+5n-8<20m+20n-37，

故命題得證.

評注本題中用到的是a+b≥2ab，a，b為實數，且a=b時等號成立.