圓錐曲線互變性的研究

孔令鈺

【摘要】本文以橢圓為例，探討了橢圓在滿足一定條件下轉(zhuǎn)變?yōu)殡p曲線的情況，進(jìn)而應(yīng)用類(lèi)比的辦法對(duì)橢圓與雙曲線、等軸雙曲線與圓、拋物線與對(duì)頂拋物線的互變性進(jìn)行了總結(jié)，得出了八個(gè)規(guī)律性質(zhì).

【關(guān)鍵詞】橢圓；雙曲線；拋物線

首先我們研究：A1A2是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的長(zhǎng)軸，P1P2是與A1A2垂直的弦，則直線A1P1與A2P2的交點(diǎn)的軌跡是什么？

證明如圖所示，設(shè)P1（acosθ，bsinθ），則P2（acosθ，-bsinθ），所以直線A1P1，A2P2的方程分別為y=bsinθacosθ+a·（x+a），y=-bsinθacosθ-a·（x-a）.

該兩方程消去θ，即得直線A1P1與A2P2的交點(diǎn)的軌跡是x2a2-y2b2=1（a>b>0）.由此可得如下性質(zhì)：

性質(zhì)1若A1A2是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的長(zhǎng)軸，P1P2是與A1A2垂直的弦，則直線A1P1與A2P2的交點(diǎn)的軌跡為x2a2-y2b2=1（a>b>0）.

運(yùn)用類(lèi)比的辦法，我們可以總結(jié)出如下圓錐曲線互變性的性質(zhì)：

性質(zhì)2若A1A2是圓x2+y2=a2（a>0）在x軸上的直徑，P1P2是與A1A2垂直的弦，則直線A1P1與A2P2的交點(diǎn)的軌跡為x2-y2=a2.

性質(zhì)3若A1A2是等軸雙曲線x2-y2=a2（a>0）的實(shí)軸，P1P2是與A1A2垂直的弦，則直線A1P1與A2P2的交點(diǎn)的軌跡為x2+y2=a2（a>0）.

性質(zhì)4若A1A2是雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的實(shí)軸，P1P2是與A1A2垂直的弦，則直線A1P1與A2P2的交點(diǎn)的軌跡為x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）.

性質(zhì)5若A1是拋物線y2=2px（p>0）的頂點(diǎn)（另一個(gè)頂點(diǎn)A2在x軸上無(wú)窮遠(yuǎn)處），P1P2是與A1A2垂直的弦，則直線A1P1與A2P2的交點(diǎn)軌跡為y2=-2px（p>0）.

同理，若F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）為橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩焦點(diǎn)，P1P2是與F1F2垂直的弦，則可得出如下性質(zhì)：

性質(zhì)6若F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）為橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩焦點(diǎn)，P1P2是與F1F2垂直的弦，則直線P1F1與P2F2的交點(diǎn)的軌跡為x2c4a2-y2c2b2a2=1（a>b>0）.

由互變規(guī)律，對(duì)于雙曲線、拋物線也有如下性質(zhì)：

性質(zhì)7若F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）為雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的兩焦點(diǎn)，P1P2是與F1F2垂直的弦，則直線P1F1與P2F2的交點(diǎn)的軌跡為x2c4a2+y2c2b2a2=1（a>0，b>0）.

性質(zhì)8若拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為FP2，0，P1P2是垂直于對(duì)稱軸的弦，則過(guò)P1與x軸平行的直線和P2F的交點(diǎn)軌跡為y2=-2p（x-p）（p>0）.

我們通過(guò)對(duì)橢圓與雙曲線、等軸雙曲線（雙曲線的特殊形式）與圓（橢圓的特殊形式）、拋物線與對(duì)頂拋物線在滿足一定條件下的互變規(guī)律，探尋出解決這類(lèi)問(wèn)題的一種方法.

【參考文獻(xiàn)】

[1]方青云.類(lèi)比思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要作用[J].理科教學(xué)探索，2006（1）：46-47.

[2]張文紅.圓錐曲線的對(duì)稱問(wèn)題[J].新課程研究（上旬刊），2007（9）：62-63.

[3]童先峰.“參數(shù)方程的意義”教學(xué)實(shí)錄與反思[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2015（30）：17-18.