應用判別式解題時必須注意它的存在性

蘇小麗

【關鍵詞】判別式；二次方程

一、提出問題創設情境

題目求實數k取何值時，直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=1有一個交點.

錯解聯立方程x2-y2=1，y=kx-1.

消去y得（1-k2）x2+2kx-2=0.

（1）當1-k2=0，即k=±1.當k=1時，x=1，即直線過點（1，0）與雙曲線只有一個交點，

當k=-1時，x=-1，即直線過點（-1，0）與雙曲線只有一個交點.

（2）當1-k2≠0，即k≠±1時，當Δ=0時，k2-2=0，得k=±2.

即當k=±2時，直線與雙曲線相切，即直線與雙曲線只有一個交點.

綜上所述，當k=±1或k=±2時，直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=1有一個交點.

二、暴露錯解過程尋求原因

分析雖然本題解法有漏洞，但答案無疑是正確的，也正是這個原因，所以非常有必要對此類問題做進一步的探討.避免解題有邏輯性的錯誤.

一般的二次方程ax2+bx+c=0，x∈R有一解的充要條件是判別式Δ=0.但對于二次方程ax2+bx+c=0，xR有一解的充要條件并非判別式Δ=0.我們不難發現對于本題，由于雙曲線x2-y2=1中x≤-1或x≥1，所以聯立方程x2-y2=1，y=kx-1. 消去y得（1-k2）x2+2kx-2=0（x≤-1或x≥1）.

即當1-k2≠0時，是討論二次方程（1-k2）x2+2kx-2=0在x≤-1或x≥1時有一解的情況.

為了方便，我們設f（x）=（1-k2）x2+2kx-2，結合二次函數圖像對（1-k2）x2+2kx-2=0在x≤-1或x≥1時有一解的討論.

（1）當Δ=0時，在x≤-1上有一解時，有

Δ=0，-2k2（1-k2）≤-1， 即k2-2=0，k1-k2≥1， 解之得k=-2.

（2）當Δ=0時，在x≥1上有一解時，有

Δ=0，-2k2（1-k2）≥1， 即k2-2=0，k1-k2≤1， 解之得k=2.

（3）當Δ>0時，在x≤-1上有一解時，有

Δ>0，1-k2>0，f（-1）≤0，f（1）>0， 或Δ>0，1-k2<0，f（-1）≥0，f（1）<0.

即-k2+2>0，1-k2>0，k2+2k+1≥0，k2-2k+1<0，或-k2+2>0，1-k2<0，k2+2k+1≤0，k2-2k+1>0，解之得無解.

（4）當Δ>0時，在x≥1上有一解時，有

Δ>0，1-k2>0，f（1）≤0，f（-1）>0，或Δ>0，1-k2<0，f（1）≥0，f（-1）<0.

即-k2+2>0，1-k2>0，k2-2k+1≥0，k2+2k+1<0，或-k2+2>0，1-k2<0，k2-2k+1≤0，k2+2k+1>0，解之得無解.

綜上所述，當k=±1或k=±2時，直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=1有一個交點.

三、給出對策化難為易

在求解直線與曲線交點問題時，聯立方程求解是必經之路，如何使得解題簡單而沒有邏輯性錯誤是我們必須探究的問題.

對于上面的題目，如果聯立方程x2-y2=1，y=kx-1， 消去x得1k2-1y2+2k2y+1k2-1=0，y∈R.

（1）當1k2-1=0，即k=±1時，直線與雙曲線只有一個交點.

（2）當1k2-1≠0時，對于關于y的一元二次方程1k2-1y2+2k2y+1k2-1=0，因為y∈R，所以Δ=0時，方程有一解.即k2-2k2=0，得k=±2.

即當k=±2時，直線與雙曲線相切，即直線與雙曲線只有一個交點.

綜上所述，當k=±1或k=±2時，直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=1有一個交點.

結論：在解決直線與非封閉曲線（比如，拋物線與雙曲線）的交點問題時，聯立方程求解的過程中消去其中一個變量時，力求保留屬于全體實屬的一個變量，使得問題求解簡單且沒有邏輯上的錯誤.

例如，在求解當k取何值時，直線y=x+k與拋物線y=x2的交點問題時，我們聯立方程y=x+k，y=x2， 消去y，得到x2-x-k=0，因為x∈R，所以直接用判別式進行判斷.

例如，求解當k取何值時，直線y=x+k與拋物線y2=x的交點問題時，我們聯立方程y=x+k，y2=x， 消去x，得到y2-y+k=0，因為y∈R，所以直接用判別式進行判斷.

對于上述題目的求解，如果利用數形結合的方法求解更為容易，限于篇幅，本文不再贅述.