一類無理函數值域的求解策略

展晨

無理函數的值域問題是高中數學競賽以及高校自主招生的熱點問題，題目入口較寬，方法靈活多樣，但學生處理起來比較困難，是代數學中比較經典的一類問題，本文以一類基礎的無理函數為例，介紹幾種求解此類函數值域的方法.

題目函數y=f（x）=2x-3+12-2x的值域.

簡單分析題目，題目中給出的函數不是基本初等函數，如何處理并簡化根式，是解決本題的關鍵.

一般地，對于函數y=ax+b+cx+d，當ac>0時，函數在定義域內是單調函數，求函數值域相對容易一些，當ac<0時，求解時有一定難度.實際上，當ac<0時，原式可化為y=ax-b+cd-x（a>0，c>0，b

一、導數法

易求函數的定義域為[3，6]，利用函數的單調性求函數的值域，是高中階段求函數值域最有效的方法之一，導數作為研究函數的一種有效工具，正確利用導數判斷函數的單調性，是導數法的關鍵.

函數y=f（x）=2x-3+12-2x的定義域為[3，6]，求導得y′=1x-3-112-2x，

由y′≥0得，1x-3≥112-2x，解得x≤5；由y′≤0得，1x-3≤112-2x，解得x≥5；結合定義域得，函數f（x）在[3，5]上單調遞增，在[5，6]上單調遞減，當x=5時，函數取得最大值ymax=32；ymin=min{f（3），f（6）}=min{6，23}=6，故函數f（x）的值域為[6，32].

導數是研究函數單調性、極值的一種有效工具，是解決此類問題的基本方法.

二、不等式法

無理式的難點在于如何處理根式，利用柯西不等式得到根式，可求出本題的最大值.

（2+1）[（2x-6）+（12-2x）]≥（4x-12+12-2x）2，即（2x-3+12-2x）2≤18，

則2x-3+12-2x≤32，

當且僅當2x-62=12-2x1時，即x=5時，等號成立；

注意到當x≥0，y≥0時，x+y≥x+y，

當且僅當xy=0時等號成立；

原式可化為y=22x-6+12-2x≥2x-6+12-2x≥（2x-6）+（12-2x）=6，當且僅當2x-6=0，即x=3時等號成立（此時要注意到兩處不等式等號成立的條件相同），故函數f（x）的值域為[6，32].

三、三角換元法

考慮利用sin2θ+cos2θ=1，簡化根式，原式可化為y=2x-3+26-x，考慮到（x-3）2+（6-x）2=3，設x-3=3cosθ，6-x=3sinθ，θ∈0，π2，則y=23cosθ+6sinθ，結合三角函數圖像易得，當θ=π2-arcsin63時，ymax=32，當θ=π2時，ymin=6，故函數f（x）的值域為[6，32].

四、向量法（幾何法）

一般地，無理函數可通過適當的配湊，構造成兩個向量的數量積.

原式可化為y=2x-3+26-x，（x-3）2+（6-x）2=3，聯想到原式可轉化為兩個向量的數量積.

設a=（2，2），b=（x-3，6-x），則y=a·b，設〈a，b〉=θ，注意到|b|=3，x-3≥0，6-x≥0，如圖所示，b可看作起點在坐標原點，終點軌跡是以坐標原點為圓心，3為半徑的第一象限及x，y軸正半軸上的圓弧，易知當a與b共線時，ymax=a·b=|a||b|cosθ=6×3cos0=32，又a與x軸正半軸的夾角α<π4，故當b終點在y軸正半軸時，即ymax=32x-3=0，x=3時，θ取得最大值，此時cosθ取得最小值，ymin=a·b=6.

故函數f（x）的值域為[6，32].

五、解析幾何法

考慮根式的平方和可以消去x，直接設u=2x-3，v=12-2x，則u2=4x-12，v2=12-2x，消x得，u2+2v2=12，即u212+v26=1，其中u≥0，v≥0，原題轉化為，在此條件下，求y=u+v的值域.方程u212+v26=1，u≥0，v≥0的曲線為橢圓在第一象限的部分（包含與u軸，v軸正半軸的交點），y=u+v轉化為v=-u+y，即斜率為-1的直線，通過平移可得當且僅當直線與曲線相切時，y取得最大值，易得ymax=32，當直線過橢圓上頂點時，y取得最小值，此時u=23，ymin=6.故函數f（x）的值域為[6，32].