一道高考不等式證明題的幾種解法

龐廷軍

在近幾年全國卷二高考試題中，選修4-5不等式選講題型多為不等式的證明，常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法.綜合法一般是大多數不等式證明題較常用的方法，主要依據是所學的公理、定理以及已知的定義、知識之間的聯系與應用性比較強，比較法常用的是作差或作商，通過作差或作商來比較大小；分析法、反證法、放縮法并不是所有的習題都能用，要根據實際題型采用不同的方法，在高考試題中這三種方法一般不多見；多數學生采用的是比較法和綜合法，當這些證明方法不能解決的時候，用函數思想的方法來解答也是比較有效的.下面以近幾年的高考試題為例來講解說明.

例1（2017年全國卷二第23題文理同）已知a>0，b>0，a3+b3=2.

證明（1）（a+b）（a5+b5）≥4；（2）a+b≤2.

（1）解法一綜合法證明：

（1）（a+b）（a5+b5）

=a6+ab5+a5b+b6

=（a3+b3）2-2a3b3+ab（a4+b4）

=4+ab（a2-b2）2

≥4.

解法二比較法證明：

（a+b）（a5+b5）-4

=（a+b）（a5+b5）-（a3+b3）2

=a6+ab5+ba5+b6-a6-2a3b3-b6

=ab5+ba5-2a3b3

=ab（a2-b2）2

≥0，

所以（a+b）（a5+b5）≥4.

解法三柯西不等式性質證明：

（a+b）（a5+b5）

≥（a·a5+b·b5）2

=（a3+b3）2

=4，

所以（a+b）（a5+b5）≥4.

（2）解法一均值法證明：

因為a>0，b>0，a3+b3=2，

所以（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

=2+3ab（a+b）

≤2+3（a+b）24·（a+b）

=2+3（a+b）34，

當且僅當a=b=1時“=”成立；

即（a+b）3≤8，所以a+b≤2.

解法二比較法證明：

由解法一啟示得，只要證明（a+b）3-8<0即可，

因a>0，b>0，a3+b3=2，

又（a+b）3-8=a3+3a2b+3ab2+b3-8

=3（a2b+ab2-2）

=3（a2b+ab2-a3-b3）

=-3（a+b）（a-b）2

<0，

即（a+b）3-8<0，（a+b）3<8，

所以a+b≤2.

解法三反正法證明：

假設（a+b）>2，

即（a+b）3>23成立，

又a>0，b>0，a3+b3=2，

化簡得a2b+ab2>2，

即a2b+ab2-2>0成立，

即a2b+ab2-a3-b3>0成立，

這與a2b+ab2-a3-b3=-（a-b）2（a+b）<0矛盾，

所以假設（a+b）>2不成立，

即證得a+b≤2.

解法四函數法證明：

由a3+b3=2，得b3=2-a，

即b=（2-a3）13，所以a+b=a+（2-a3）13；

設函數f（x）=x+（2-x3）13（x>0），

求導得f′（x）=1+13（2-x3）-23（-3x2）=1-132x3-12=0，解得x=1.

當00，f（x）在（0，1）上單調遞增；

當x>1時，f′（x）<0，f（x）在（1，+∞）上單調遞減；

所以f（x）在x=1處取極大值且f（1）=2，

即f（x）≤2，所以a+b≤2.

解題方法的多樣性，會激發學生的學習興趣，開闊學生的視野，也可以幫助學生掌握更多的解題方法，通過多題一解或一題多解，去應對高考試題的多樣性.