概率題中五類典型錯誤剖析

高懷龍

【摘要】概率題是高中數學的一個重要組成部分，也是高中數學教學中的一個重點和難點.本文總結幾種概率題的典型錯誤，并進行剖析.

【關鍵詞】概率；典型；錯誤

概率解題中容易混淆的概念與易出錯的問題很多，有的概率計算相當困難而又富有技巧，為幫助高二同學的概率學習與高三同學復習好概率知識，本文對概率解題中最常見錯誤而又容易混淆的五個問題進行剖析，希望能對同學們有所幫助.

類型一“非等可能”與“等可能”混同

例1同時拋擲兩枚骰子與連續拋擲兩枚骰子，求所得點數之和為6的概率.

錯解擲兩枚骰子出現的點數之和為2，3，4，…，12，共11種基本事件，所以概率為P=111.

剖析以上11種基本事件不是等可能的，如點數和為2的只有（1，1），而點數之和為6的前者有（1，5）（2，4）（3，3）共三種；后者為（1，5）（2，4）（3，3）（5，1）（4，2）共5種，而擲兩枚骰子前者共21種，后者共36種，是等可能的，所以“所得點數之和為6”的概率：前者P=321，后者P=536.

類型二“有放回”與“無放回”抽樣混同

例2箱子中有a個正品，b個次品，從箱子中隨機連續抽取3次.（1）每次抽樣后不放回，求取出的三個全是正品的概率.（2）每次抽樣后放回，求取出的三個全是正品的概率.

剖析關于有放回抽樣可以看作有順序，也可以看作無順序，其結果一樣.

（1）不放回抽樣3次看作無順序，則從（a+b）個產品不放回抽樣3次，共C3a+b種方法，從a個產品中不放回抽樣3次，共C3a種方法，故取出3個正品的概率為P1=C3aC3a+b.

（2）從（a+b）個產品中有放回抽取3次，每次都有（a+b）種方法，所以共有（a+b）3種不同的方法，而3個全是正品的抽法共有a3種，所以3個全是正品的概率為P2=a3（a+b）3.

類型三“平均分組”與“非平均分組”混同

例3有6本不同的書：

（1）分給甲、乙、丙3人，每人2本，有多少種不同的分法？若平均分成3堆每堆2本，有多少種不同的分法？

（2）分給甲、乙、丙3人，一人得1本，一人得2本，一人得3本，有多少種不同的分法？若分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分法？

錯解（1）6本書分給甲、乙、丙，每人2本，共分C26·C24·C22·A33種，若平均分成3堆，則有C26·C24·C22種.（2）兩種情況都為C16·C25·C33·A33種.

剖析解與分配有關的概率問題，通常利用分組再分配的方法，分組有需要考慮是平均分配還是非平均分配；是局部還是總體平均分配，是有序分組還是無序分組.所以，上面例題（1）中前者是非平均分組，總共有C46·C24·C22種分法，后者是平均分組，共有C26·C24·C22A33種分法.（2）中前者總共有C16·C25·C33·A33種；后者共有C16·C25·C33種.

類型四“互斥”與“對立”混同

例4把紅、黑、白、藍4張紙牌隨機地分給甲、乙、丙、丁4個人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是（）.

A.對立事件

B.不可能事件

C.互斥但不對立事件

D.以上均不對

錯誤答案A.

剖析本題錯誤的原因在于把“互斥”與“對立”混同，要準確解答這類問題，必須搞清對立事件與互斥事件的聯系與區別，這兩者的聯系與區別主要體現在以下三個方面：

（1）兩事件對立，必定互斥，但互斥未必對立；

（2）互斥事件的概率適用多個事件，但對立事件的概念只適用于兩個事件；

（3）兩個事件互斥只表明這兩個事件不能同時發生，即：至多只能發生其中一個，但可以都不發生；而兩事件對立則表示它們有且只有一個發生.

例4中事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是不能同時發生的兩個事件，這兩個事件可能恰有一個發生，一個不發生，可能兩個都不發生，所以選C.

類型五n次獨立重復試驗中事件A“發生k次”與事件A“第k次才發生”及事件A“第k次發生”相混同

例5在n次獨立重復試驗中，每次試驗中，某事件A發生的概率是0.8，求：

（1）事件A恰好有3次發生的概率；

（2）事件A在第三次才發生的概率；

（3）事件A在第三次發生的概率.

錯解（1）P1=C3nP3（1-P）n-3；（2）P2=C1nP（1-P）n-1；（3）P3=C3nP3（1-P）n-3.

分析在上述例題中，最容易混同的是“k次發生”與“第k次發生”等同，且“恰好在第三次事件發生”與“第三次事件發生”相等同.

（1）中說明在n次中有3次發生，不管是哪3次發生，總之有3次，所以事件有3次發生的概率為P1=C3nP3（1-P）n-3.

（2）中“恰好在第3次發生”說明只發生了一次，且只在第三次發生，其他的幾次試驗都沒有發生，故P2=P（1-P）n-1.

（3）中“第3次事件A發生”說明總共進行了n次，其中A發生了3次，且在第n次發生了，所以P3=C2n-1P2（1-P）n-3·P.

總之，在概率問題的教學中，同學們一定要分清楚以上五種不同類型，抓住問題的實質，從根本入手，才能解決具體問題.

【參考文獻】

[1]蔡旺.高中概率解題思想的應用[J].科技風，2016（23）：55.