橢圓性質的再探討

徐未君

【摘要】本文通過對橢圓的定義、焦點、頂點、準線、焦點三角形、旁切圓的進一步研究，得出了橢圓的四個性質，并給出了證明.

【關鍵詞】橢圓；焦點三角形；準線

我們知道橢圓的定義為P={M|MF1|+|MF2|=2a，2a>2c}，通過對橢圓的焦點、頂點、準線、焦點三角形、旁切圓的進一步研究，可得出如下性質：

性質1F1，F2分別為橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點，P點是橢圓上的一點，則∠PF1F2所含的△PF1F2的旁切圓必切于橢圓的右頂點A2，∠PF2F1所含的△PF1F2的旁切圓必切于橢圓的左頂點A1.

圖1

證明如圖1所示，設橢圓為x2a2+y2b2=1（a>b>0），A2′，B為旁切圓I與邊F1F2，F1P的延長線相切的點，由旁心圓的性質和橢圓的定義，得|F1B|+|F1A2′|=|PF1|+|F1F2|+|PF2|=2（a+c），|F1B|=|F1A2′|=a+c.故點A2′與點A2重合，旁切圓相切于橢圓的右頂點，同理可證旁切圓相切于橢圓的左頂點的情況.

性質2設A1，A2分別為橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右頂點，F2為其右焦點，l為對應F2的準線，P是橢圓上（除A1，A2外）任一點，設A1P，A2P分別與l相交于M，N.則MF2⊥NF2.

圖2

證明如圖2所示，在橢圓中，A1（-a，0），A2（A，0），F2（c，0），準線為l：x=a2c，設點

P（acosθ，bsinθ），則直線方程分別為yA1P=bsinθ（x+a）a（cosθ+1），yA2P=bsinθ（x-a）a（cosθ-1）.所以，Ma2c，（a+c）bsinθc（cosθ+1），Na2c，（a-c）bsinθc（cosθ-1），此時兩直線的斜率kMF2=（a+c）bsinθb（cosθ+1），

kNF2=（a-c）bsinθb（cosθ-1），所以kMF2·kNF2=（a+c）bsinθb（cosθ+1）·（a-c）bsinθb（cosθ-1）=-1，即MF2⊥NF2.

性質3設A1，A2分別為橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右頂點，F2為其右焦點，l為對應F2的準線，P是橢圓上（除A1，A2外）任一點，設A1P，A2P分別與l相交于M，N，則以MN為直徑的圓與PF2相切于F2.

證明如圖2所示，以MN為直徑作圓，圓心為E得出點Ea2c，b（c-acosθ）csinθ，設點P（acosθ，bsinθ），F2（c，0），此時兩直線的斜率kEF2=c-acosθbsinθ，kPF2=bsinθacosθ-c，所以kEF2·kPF2=c-acosθbsinθ·bsinθacosθ-c=-1，即EF2⊥PF2，以MN為直徑的圓與PF2相切于F2.

性質4設A1，A2分別為橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右頂點，F2為其右焦點，l為對應F2的準線，P是橢圓上（除A1，A2外）任一點，設A1P，A2P分別與l相交于M，N.則F2M平分∠PF2A2.

證明如圖2所示，由性質2的結果，得知在Rt△MF2N中，∠MNF2+∠NMF2=90°，因為MN⊥x軸，所以∠MF2A2+∠NMF2=90°，由性質3的結果，根據圓的弦切角的性質，得出∠MF2P=∠MNF2，所以∠MF2P=∠MF2A2，即F2M平分∠PF2A2.

【參考文獻】

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