數形結合在中學數學教學中的作用

楊俊山

數學是研究現實世界的空間形式和數量關系的科學，所以研究數學的重要思想之一就是數形結合思想.我國著名數學家華羅庚教授說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微.數形結合百般好，隔離分家萬事休”，這正是對數形結合思想的完美概括.數形結合思想是中學數學的靈魂，缺少了它，數學將失去其神采，因此，我們在教學中要做好數形結合思想的教學，讓學生領略數形結合在數學中的奇妙作用.

第一，通過數形結合，可以使形象復雜的數量關系變得直觀，易理解，易接受；將直觀的圖形數量化，轉化成數學運算，可以降低難度，使理解更加深刻.數軸第一次實現了數形的完美結合，從而降低了相反數、絕對值的學習難度，數的大小的比較，也有了完美的幾何工具.平面直角坐標系、復平面又更進一步完善了數形結合思想.例如，用數軸表示不等式和不等式組的解集，從而把復雜的數量關系用幾何圖形表示出來，易理解、易接受.

第二，數形結合思想的教學，不僅可以提高學生的數形轉換能力，還可以提高學生的遷移思維能力，培養學生的創新能力，從而開發學生的智力.

例1如圖1所示，正方形ABCD的邊長為a，以各邊為直徑在正方形內畫半圓，求所圍成的圖形（花瓣形）的面積.

此題是初中平面幾何的面積計算問題，求解方法較多，若采用數形結合，可使解法更新穎、簡捷，同時還可以激發學生學習數學的興趣.由圖形的對稱性知，每片葉形面積相等，每塊兩個葉形之間的面積也相等，由此可設每片葉形面積為x，每塊兩個葉形之間的面積為y，依圖形則有4x+4y=a2，2x+y=12πa22， 解此方程組便可求出花瓣形部分的面積，而且還求出了每一小部分的面積，從而拓展學生的思維，開闊學生的視野.

再如，如圖2所示，以邊長為a的正方形的各頂點為圓心，a為半徑在正方形內畫圓心角為90°的扇形，求所圍成的圖形（花瓣形）的面積.此題若采用幾何方法，很難組合圖形求出面積，如果采用數形結合，利用方程組則能順利求得花瓣形部分的面積.

第三，通過數形結合思想的教學，學生對概念、定理等的理解會更深更透，并能靈活運用，從而鍛煉學生的思維，使聯想更豐富.例如，直線和圓的位置關系與數的大小比較聯系起來，用代數方法來研究直線與圓的位置關系，使學生對概念的理解更深入透徹，易于接受.再如，余弦定理是體現數形結合思想的定理之一，他不僅可以使幾何問題代數化，也可使代數問題幾何化.

例2已知：⊙O1和⊙O2相交于AB兩點，過A作⊙O2的切線交⊙O1于C，直線CB交⊙O2于D，直線DA交⊙O1于E，連接CE.

求證：（1）CA=CE；（2）DA·DE=CD2-CE2.

本題第（2）小題，如果用余弦定理再結合一元二次方程，則有如下奇妙證法：在△CED和△CAD中，由余弦定理得CE2=CD2+DE2-2CD·DEcosD，CA2=CD2+DA2-2CD·DAcosD.由于CA=CE，將上兩式改寫為：DE2-2CD·DEcosD+CD2-CE2=0，DA2-2CD·DAcosD+CD2-CE2=0.

由此可知，DE，DA是一元二次方程x2-2x·CDcosD+CD2-CE2=0的兩個根，由韋達定理得DA·DE=CD2-CE2.

此證法省去了幾何中繁難嚴謹的邏輯推理及數式運算，而比較自然流暢，易于理解接受，從而激發學生的求知欲，培養學生樂觀奮進的求學精神.

例3求sin220°+sin240°+sin20°sin40°的值.

解構造△ABC，使∠A=20°，∠B=40°，∠C=120°，設這個三角形的外接圓半徑為R，則a=2Rsin20°，b=2Rsin40°，c=2Rsin120°，由余弦定理有（2Rsin20°）2+（2Rsin40°）2-2（2Rsin20°）（2Rsin40°）cos120°=（2Rsin120°）2，化簡得sin220°+sin240°+sin20°sin40°=34.

此解法脫離了煩冗的代數運算，利用直觀的三角形，而聯想到用正弦定理、余弦定理，從而迅速求出結果.這既可以鍛煉學生的聯想能力，又可以培養學生靈活運用知識的能力，從而活躍了學生的思維，培養學生的創新能力.

第四，通過數形結合的教學，能使學生領略數學知識的神奇風采，從而激發學生學習數學的興趣，使學生自覺主動地學習，培養提高學生的能力、素質，推動素質教育的發展.

例4比較2 020-2 019和2 019-2 018的大小.

此題通常采用分子有理化的方法進行比較.但若構造如圖3所示的三角形，會使解法更奇妙、新穎，使數形結合的思想發揮其應有的作用.

解構造△ABC，使∠C=90°，AB=2 020，BC=2 019，在BC上取一點D，使CD=2 018，連接AD.由勾股定理可得AC=1，AD=2 019，且BD=BC-CD=2 019-2 018，

在△ABD中，有AB-AD

用此法解完后，學生就會驚呼“數學真奇妙！”，從而活躍課堂氣氛，讓學生深深地愛上數學，消除數學的枯燥乏味性，展示數學游戲的樂園，激發學生學習數學的興趣.

第五，數形結合思想和方法的教學，能培養提高學生分析問題、解決問題的能力，培養學生的創新精神和善于發現的思想意識.較為抽象的數量關系，通過幾何圖形的性質反映出來，使抽象的概念關系得以直觀化，有利于分析、發現和理解.例如，初等函數的性質緊密地與它們的圖像結合在一起，進而獲得方程、方程組、不等式和不等式組的幾何解法.又如，應用方程和方程組解應用題，利用直觀的示意圖幫助分析理解，可以順利地列出方程和方程組.

例5甲、乙兩個物體分別從相距70 m的兩處同時相向運動，甲第一分鐘走2 m，以后每分鐘比前一分鐘多走1 m，乙每分鐘走5 m.

（1）甲、乙開始運動后幾分鐘相遇？

（2）如果甲、乙到對方起點后立即折返，甲繼續每分鐘比前一分鐘多走1 m，乙繼續每分鐘走5 m，那么，開始運動后幾分鐘第二次相遇？

此題是簡單的數列應用問題，直接想是很難列出方程的，如果用圖線示意圖，問題就迎刃而解了.

第六，數形結合有利于拓展學生的思維，誘發學生的靈感，使學生的思維更靈活、更開闊.在教學中，教師應及時捕捉和誘發學生學習中出現的靈感，對于學生別出心裁的想法，違反常規的解答，標新立異的構思，哪怕只有一點點的新意，都應及時給予肯定.同時，還應當應用數形結合、變換角度、類比形式等方法去誘導學生的數學直覺和靈感，促使學生能直接越過邏輯推理而尋找到解決問題的突破口.例如，在不等式證明的復習課中，筆者記得這樣一個例題：已知：1ba-1.問題的敘述如此簡潔，要證明這個不等式成立，似乎無從下手.但教師讓學生觀察不等式的結構形式——指數式，指數式怎么辦？這時有學生說：化成對數式.這時教師及時捕捉了學生的這一想法：

由求證的結論知ab-1>ba-1lgab-1>lgba-1（b-1）lga>（a-1）lgblgaa-1>lgbb-1，而且也能逆推回去.lgaa-1>lgbb-1這個不等式妙啊！如果再作變化的話，你就豁然開朗了.上式變形成：lga-lg1a-1>lgb-lg1b-1，表達式lga-lg1a-1你想起了什么？直線的斜率公式嗎？于是設f（x）=lgx，由1

圖4

如圖4所示，易知kAC>kBC，這不就證明了ab-1>ba-1嗎？在分析中尋找解題的靈感，在轉化中獲取解題的信息，應用數形結合，于是活靈活現的解法也就脫穎而出.

第七，數形結合可以很好地培養學生的觀察聯想的思維能力.雖然觀察看起來是一種表面現象，但它是認識事物內部規律的基礎，是我們思考問題的開端.所以，必須重視觀察能力的訓練，使學生不但能用常規方法解題，而且能根據題目的具體特征，采用特殊方法來解題，培養學生的創新意識，增強學生的創新能力.

例6已知a，b，c，d都是實數，求證a2+b2+c2+d2≥（a-c）2+（b-d）2.

此題從題目的外表形式觀察到，要證的結論的右端與平面上兩點間的距離公式很相似，而左端可看作是點到原點的距離公式.根據其特點，可采用下面巧妙而簡捷的證法，這正是思維變通的體現，是創新的基礎.

證明在平面直角坐標系中，不妨設A（a，b），B（c，d），則有|AB|=（a-c）2+（b-d）2，|OA|=a2+b2，|OB|=c2+d2，在△OAB中，由三角形三邊之間的關系知|OA|+|OB|≥|AB|，當且僅當O在AB上時，等號成立，因此，原式成立.

很多學生都有思維定式，看到這個不等式證明題，馬上想到采用分析法、綜合法等，而此題利用這些方法證明很煩瑣.學生沒能從外表形式上觀察到它與平面上兩點間距離公式相似的原因，是對這個公式不熟，進一步講是對基礎知識的掌握不牢固，因此，平時的教學中應多注意數學公式、定理的學習運用.

在數學中，數和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯系，在一定條件下，數和形之間可以相互轉化，相互滲透.數形結合思想，就是在研究問題的過程中，注意把數和形結合起來考查，斟酌問題的具體情形，把圖形性質的問題轉化為數量關系的問題，或者把數量關系的問題轉化為圖形性質的問題，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，獲得簡便易行的解題方案.數形結合思想的教學，不僅可以培養提高學生分析問題、解決問題的能力，還可以開發學生的智力，培養學生的創新精神，而且，中學數學的每一部分知識都貫穿數形結合的思想，因此，我們在數學教學過程中，要經常進行數形結合的教學，使貫穿于數學學習始終的數形結合的思想真正在課堂教學中發揮其應有的作用，以優異的成績完成我們的中學數學教學任務.