數學技術與概率論的發展

帕提古麗·木沙

【摘要】很多研究都表明，概率論的發展，起源是賭博問題.不過，從概率論的最初發展階段來看，缺乏數學技術和理性思考的支撐，概率論沒有取得實質性的突破.本文在研究中，從數學技術的視角，探討概率論的發展歷程，并對不同時期概率論的特征進行分析，嘗試解釋數學技術是如何推動概率論不斷發展的問題.

【關鍵詞】數學技術；概率論；概率空間；數學分析

一、概率論的早期發展

概率論研究是概率性質問題，而這一類性質的問題，最初都是源自人們日常生活的不同領域，后來經過人們的不斷創新發展，形成了概率論這一概念.在早期概率論發展過程中，保險公司收集的數據資料，對促進概率論的發展，起到了非常重要的推動作用.在17世紀時，一些國家，如荷蘭、西班牙、法國、英國、德國等，概率論開始在人們的日常生活中應用.主要表現就是，人們用各種參考手冊，將教區居民的結婚、參加洗禮的次數、舉行葬禮的次數進行詳細記錄，隨之又不斷增加了人們出生、死亡原因等數據的記載.這些原始的數據記錄，人們開始用于分析居民在每一時期死亡的可能性.早期的概率論在應用方面，范圍還比較小，很多領域人們還沒有進行嘗試性的探索研究.

隨著資本主義的發展，對概率論的使用要求水平日益提升，很多人開始對概率論進行系統深入的研究.尤其是保險業務、貨幣交易等業務的快速發展，對統計要求水平越來越高，而統計學的發展，對于促進概率論的發展，有著非常直接的影響作用.早期的貨幣交易、股票交易業務，一些人已經利用統計概率知識進行參考，能夠在一定程度上提高交易的成功率.后來在賭博行業中，概率論的應用價值更加凸顯.一些著名的數學家還對概率論的具體應用進行過深入的研究.例如，1654年左右，賭徒梅雷向帕斯卡請教“點數問題”，帕斯卡和費馬在通信中討論了“點數問題”“骰子問題”等問題.他們共通信七封，概率史家把第三封信作為概率論誕生的日子，因在這封帕斯卡寫給費馬的信中，圓滿地解決了“點數問題”.帕斯卡和費馬把賭博問題中涉及的點數，運用數學概率排列組合的方法，給出了比較圓滿的答案.

二、代數分析方法與古典概率論

數學技術出現突破性發展，是源于無窮數學的誕生.無窮數學的產生，擴大了數學知識的應用范圍，并極大地推動了概率論的發展.自此，概率論的研究對象從有限的樣本向無限樣本擴展.在概率論發展的初期階段，討論的賭博問題屬于古典概型，在當時，人們還認為隨機試驗的基本事件數量是有限的，并且每一個事件發生的概率是相同的.如果大量地重復同一事件，例如，投擲骰子，出現n次6點的概率是多少.對這一問題的研究，其計算方法是設某事件E在一次試驗中出現的概率為p，則不出現的概率為1-p，則n次試驗中出現m次事件，E的概率為pn（m）=Cmnpm（1-p）n，其中Cmn=n！m！（n-m）！，當n趨于無窮大時，概率的計算是相當麻煩的，且若不知事件在一次試驗中的概率，就無法用所述公式計算n次試驗中事件出現的概率.這就需要找一種新的方法.任何人都能觀察到在大量重復同一試驗時，某事件出現的頻率會越來越穩定于某數值，這就是大數定理的思想所在.后來在概率論的發展中，突破有限個等可能事件的限制，把等可能思想應用于無窮多個事件的情形，這就產生了幾何概率.許多數學家運用幾何概率論進行推廣，研究等可能性事件的發生概率，如果實驗的次數是無窮大，則計算出的最終結果就是一個近似值.

三、分析概率論和數學分析方法

分析概率論和數學分析方法的發展，得益于微積分的創立.牛頓和萊布尼茲創立微積分后，18世紀人們在概率論和數學分析方面的研究，取得了一系列非常輝煌的成就.數學分析的快速發展，使得微分方程、特征函數、積分等數學分析工具，成為研究概率論的重要方法.其中，分析概率論的發展，使得概率論進入到一個新的發展階段，因為概率論的研究重點實現了由之前的組合技巧研究向分析方法研究的轉變.分析方法相較于組合技巧，更具有主動性，能夠從結果導向性思維方法入手，研究分析一些未知事件的發生概率.

在這一時期數學中的極限定理，對于促進概率論的發展，也發揮了非常重要的作用.在概率論中占據很重要的地位.現實中影響事件結果的隨機因素很多，雖然每一個因素對結果的影響都不大，若把這些因素綜合起來就會有明顯的作用，因而，需要研究這些隨機變量的和.中心極限定理就是隨機變量的和漸近于正態分布的規律性，它可把許多無法了解或了解很少的隨機事件的概率分布歸結為已知的正態分布，則可對知之甚少的事物做進一步的研究.拉普拉斯應用極限定理解釋了某一國家注冊結婚數目的穩定性，死信數目的穩定值，解決了和年金有關的問題.傳統的年金處理方法，主要依靠大量的數據統計，人工復核篩選，而運用概率論中極限值與穩定性的相關定理，能夠大大降低年金問題的處理難度，也在很大程度上提高了問題的解決效率.這是概率論在解決實際生活問題方面的重要體現.

從1920年開始，概率論的研究類型在很大程度上由集合論和函數論的思想所決定.通過對概率論基本概念——隨機事件和概率的本質分析，發現隨機事件的運算與集合的運算完全類似，概率與測度具有相同的性質，這就建立了構建概率論邏輯基礎的正確道路.隨著大數定理研究的深入，概率論與測度論的聯系也愈來愈明顯.強、弱大數定理中的收斂性對應于測度論中的幾乎處處收斂與依測度收斂.因此，度量函數的思想愈來愈滲透到概率論理論體系之中.度量函數的思想，對概率論隨機事件的分析，起到了很重要的推動作用.

1933年，柯爾莫戈洛夫以德文出版的《概率論基礎》是概率論的一個里程碑.他建立了在測度論基礎上的概率論的公理化體系，奠定了近代概率論的基礎.書中建立起了集合測度與事件概率的類比，積分與數學期望的類比，函數正交性與隨機變量獨立性的類比，等等.這種廣泛的類比終于賦予了概率論以演繹數學的特征.柯爾莫戈洛夫以五條公理為基礎，建立了概率場，構建出整個概率論理論體系.概率論理論體系的日益完善，使得概率論在日常生活中的應用范圍、應用技術變得更加廣闊，催生了很多新的統計分析技術的發展.概率論基礎中的概率定理，將抽象的概率推導過程進行科學處理，讓更多的人能夠掌握概率論使用的基本要素條件，這對于促進概率論知識的實際運用，有著非常重要的價值和意義.

這樣，概率論就從半物理性質的科學變成嚴格的數學分支，和所有其他數學分支一樣建立在同樣的邏輯基礎之上.當然，概率論公理化體系的構造并沒有解決所有原則問題.關于隨機性本質這個基本問題仍未解決.隨機性與確定性的界限在何處，是否存在？這個哲學性質的問題值得關注.柯爾莫戈洛夫為此付出了許多努力，試圖從復雜性、信息和其他概念等方面來解決這個問題.他提出研究確定性現象的復雜性和偶然性現象的統計確定性的宏偉目標，其基本思想是：有序王國和偶然性王國之間事實上并沒有一條真正邊界，數學世界原則上是一個不可分割的整體.無論是數學技術方法，還是概率論思想的內涵，在本質上，都是數學知識在某一領域的相互適應與變化的產物.而現實的應用需要，既能夠鼓勵人們對概率論知識的研究，而又能夠通過反復的實踐檢驗，提高概率論的應用水平.

四、結語

通過上面的分析研究，我們發現概率論的發展，離不開先進數學技術方法的支撐.數學技術是推動概率論發展，并且擴展其應用范圍的重要基礎.現代隨著大型計算機技術的進步，大數據統計分析等發展的水平日益提高.但是，其核心的概率思想、方法理念，仍然發揮著非常重要的作用.人們通過大量的數據分析，能夠對一些事件的發生進行科學的預測.概率論在金融經濟學、氣象預測分析、地質礦產勘測等領域，正在發揮著越來越重要的作用.

【參考文獻】

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