高等數學積分學中幾點重要說明

趙曉艷

【摘要】本文主要是關于高等數學積分學中幾點重要的幾種特殊情況說明，首先我們介紹定積分和不定積分的區別和聯系，包括定義、形式上的相同點、不同點，然后又介紹了定積分和不定積分積分方法的內在本質，重點舉例說明了它們之間的不同點，對每一種積分方法分別舉出典型例題，在例題中對定積分和不定積分的不同點進行了解釋說明.接下來我們分析了廣義積分的兩大類型，對于每一種類型，我們都給出相應的計算公式，并詳細闡述了每種方法的重點難點和解法步驟，不僅如此，我們對兩類廣義積分，給出了比較簡單的計算公式，對于公式來歷，也給出了詳細說明.最后介紹了幾種特殊積分的積分方法，使讀者能對特殊積分有更深刻的了解和認識.最后又對本文做了小結.

【關鍵詞】定積分；不定積分；廣義積分，瑕積分；分部積分法；換元積分法

一、定積分和不定積分區別和聯系

積分學主要包括定積分和不定積分，定積分和不定積分是相互統一的一個整體，即相互聯系，有著本質相同的地方，同時又有很大的差別.

1.定積分和不定積分都是積分，積分學里的一些基本性質和基本積分方法都是相同的，即f（x）在不定積分中用什么方法，在定積分中也用此方法[1].比如，對于被積函數是反對冪指三任兩類函數乘積求積分時用分部積分法，無論是定積分還是不定積分都是用此方法.也就是說無論是直接積分法還是換元積分法，也都是在不定積分中用什么方法，在定積分中同樣用此方法.

2.定積分有積分上下限和積分區間，這是在形式上定積分和不定積分最大的不同，就因為這個區別，定積分有了幾個自己的特別的性質，比如，積分區間可加性、比較性質、定積分幾何意義、積分中值定理，估計定積分值等幾個非常重要的性質.我們從定積分和不定積分計算公式上再看一下定積分和不定積分的差別.

∫f（x）dx=F（x）+C，∫baf（x）dx=F（x）ba=F（b）-F（a）.

從定積分和不定積分公式上看，定積分和不定積分不同之處在于積分結果意義不同，定積分在幾何意義上表示所圍曲邊梯形的面積或者所圍曲邊梯形面積的相反數.因此，定積分計算結果是一個確定常數.但是不定積分計算結果是一個函數.

3.在積分方法上定積分和不定積分不同的區別說明：直接積分法這里不再贅述，被積函數經過簡單變形，即可直接利用公式求出結果.換元積分法中第一換元積分法[2]我們建議讀者在運用時候采用“心里”設u，但是不寫出來的方法，這樣在定積分中，就可以不用換上下限，這樣就能減少做題步驟，也能減少做題失誤率.接下來我們來看定積分∫10（3x-1）5dx，我們還是設3x-1為u，∫10（3x-1）5dx=13∫10（3x-1）5d（3x-1）=118（3x-1）610=329-118=72.因此，在湊微分法時，利用此方法使定積分計算省了很多步驟.但是在第二換元積分法時，定積分中必須要換元，在換元過程中，必須還要遵守‘換元必換限，在換限時，還要注意‘上限對上限，下限對下限的原則.下面我們來舉例說明此方法在定積分中的應用.例如，∫8011+3xdx，被積函數符合第二換元積分法中的去根號法.設3x=t，則x=t3，dx=dt3=3t2dt，當x=0時，t=0，

當x=8時，t=2（新的積分下限0是通過假設中等式中老的積分下限0計算出來的，新的積分下限2是通過假設中等式中老的積分下限8計算出來的）.下面給出計算過程：

∫8011+3xdx=∫203t21+tdt=3∫20t2-1+11+tdt

=3∫20t-1+11+tdt

=3t22-t+ln（1+t）20=ln3，

對于不定積分∫11+3xdx，的根式代換，因為沒有上下限，最后積分結果含有t，然后把假設3x=t代入最后結果，也就是積分結果是含有x的函數.在分部積分法中，我們給出不定積分和定積分的分部積分公式∫udv=uv-∫vdu和∫baudv=uvba-∫bavdu[3]，從此兩個公式可以看出，不定積分和定積分在分部積分計算中無論是前提條件還是選u原則都是一樣的，就是公式稍有不同.這里就不再舉例.

二、廣義積分的幾點說明

廣義積分就是推廣意義上的積分，和普通類型積分在積分上稍有不同，分為無窮限廣義積分和無界函數廣義積分，無窮限廣義積分即積分區間里有無窮的情形，顯而易見，要么是積分下限無窮限，要么是積分上限無窮限，要么就是上下限均是無窮.對于無界函數廣義積分，我們高等數學上還有另外一個名字稱為“瑕積分”，無界點就是瑕點.

1.對于無窮限廣義積分來說，根據上面的介紹，可以分為三大類：∫b-∞f（x）dx，∫+∞af（x）dx，∫+∞-∞f（x）dx，對于此三種類型，我們分別會給出計算公式，并且會給出兩種計算方法，我們拿∫b-∞f（x）dx來說，先給出第一種計算公式，∫b-∞f（x）dx=

lima→-∞∫baf（x）dx，當極限存在，廣義積分收斂，當極限不存在，廣義積分發散.還有另一種計算公式，即 ∫b-∞f（x）dx=F（x）b-∞=F（b）-F（-∞）.F（-∞）表示當x→-∞時，F（x）的極限值.我們給出一道例題解釋兩種計算方法的差別.讀者可以依照此方法來解決∫+∞af（x）dx和∫+∞-∞f（x）dx，

2.下面我們來探討無界函數廣義積分.當limx→af（x）=+∞，我們稱f（x）在x=a無界.

無界函數廣義積分分為積分下限a無界，積分上限b無界和無界點在積分區間中間某一點三種情況.對于積分下限a無界，我們可以把[a，b]左端點a挖去，取ε>0，讓左端點a向右移動ε單位，新的積分區間為[a+ε，b]，在此積分區間里沒有無界的點，因此，可按普通函數積分，然后讓ε→0取極限即可.同理對于積分上限b無界的情況，我們可以把[a，b]右端點b挖去，取ε>0，讓右端點b向左移動ε單位，新的積分區間為[a，b-ε].當無界點在積分區間中某點時，我們可以像挖去一塊白玉中間一點瑕疵一樣，先把這個瑕點“露”出來，我們采用從瑕點處把積分區間分開，利用積分區間可加性把原積分分為兩個積分，這兩個積分分別是上面那兩種情況，然后分別利用相應公式求出極限，進而得到積分值或者積分發散的情況[4].我們對此舉例，∫1-11x4dx.此題中，[-1，1]區間中0為瑕點，利用積分區間可加性，分為[-1，0]和[0，1]將瑕點0露出，然后再用上述公式求出極限.

∫1-11x4dx=∫0-11x4dx+∫101x4dx

=limε→0∫-ε-11x4dx+limε→0∫1ε1x4dx

=limε→0-13x-3-ε-1+limε→0-13x-31ε

=limε→0-13（-ε-3+1）+limε→0-13（1-ε-3）

=-13+-13=-23.

因此，廣義積分收斂于-23.通過此積分，我們把瑕積分的積分方法進行了總結，使讀者對瑕積分有了更深刻的認識.

三、幾種特殊積分解法解析

在積分運算中，有幾個特別重要的積分類型，積分方法比較特別，因此，接下來我們一一介紹.

例如，∫excosxdx，對于此積分，看似符合分部積分條件，因此，按照分部積分積分方法做下去：做法如下：∫excosxdx=∫exd（sinx）=exsinx-∫sinxd（ex）=exsinx-∫exsinxdx.

我們發現，用了一次分部積分后，發現積分∫exsinxdx并沒有比原積分∫excosxdx簡單.因此，我們對∫exsinxdx再用一次分部積分，∫exsinxdx=∫exd（-cosx）然后我們代入分部積分公式，∫exsinxdx=∫exd（-cosx）=-excosx+∫cosxd（ex）

=-excosx+∫excosxdx.將此積分結果代入式，∫excosxdx=exsinx-（-excosx+∫excosxdx），看似此積分好像循環往復，其實只要移向，即可得到結果.2∫excosxdx=exsinx+excosx，兩邊同除系數2，可得∫excosxdx=exsinx+excosx2.類似積分，比如，∫exsinxdx，也是同樣用此方法才可以求出積分結果[5].

四、小結

積分學是高等數學中的重點，也是難點，和導數有著緊密的聯系，對于普通類型的積分，運用合適的積分方法即可得到積分結果，但是對于積分學中一些特別要注意的要點有必要詳細解釋說明，特別是對于一些特殊類型的積分，需要和讀者一起探討.本文主要是關于高等數學積分學中幾點重要的幾種特殊情況說明，首先我們介紹定積分和不定積分的區別和聯系，然后又介紹了定積分和不定積分積分方法的內在本質，重點舉例說明了他們之間的不同點.接下來我們分析了廣義積分的兩大類型，我們對兩類廣義積分，給出了比較簡單的計算公式.最后介紹了幾種特殊積分的積分方法，使讀者能對特殊積分有更深刻的了解和認識.

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2011：160.

[2]李成章，黃玉民.數學分析[M].北京：科學出版社，2017：190.

[3]劉忠東.高等數學[M].重慶：重慶大學出版社，2015：186.

[4]同濟大學應用數學系.高等數學習題集[M].北京：高等教育出版社，2003：126.

[5]上海大學理學院數學系.高等數學[M].上海：上海大學出版社，2006：98.