問題驅動的數學教學

郭培昌

【摘要】問題驅動的教學方法是一個強調啟發性，引導學生主動學習的教學方法.本文以數學課程教學中兩個案例說明該教學法的運用.

【關鍵詞】問題驅動式教學；高等代數；數值分析；教學方法

【基金項目】中國地質大學（北京）中央高校基本科研業務費資助項目（2652017140）.

問題驅動的數學教學，是一種以學生為主體，以專業領域內的一些特定問題作為學習起點，順應問題本身發展的邏輯線，合理地圍繞問題擴展學習內容的一種教學方法[1].教師在這種教學模式中的角色是問題的提出者、過程的設計者和結果的評價者.這種教學方法使得任課教師更好地把科研和教學結合在一起，強調啟發性，強調數學內在的統一性，重視學生能力的培養.

在歷史上，數學學科的經典內容是在其內部動力和外部動力的共同推動下發展起來的.所謂內部動力，就是從數學自身規律出發，在邏輯上提出的純數學問題.而外部動力是指將實際應用中的需求經過抽象化、模型化的數學問題.所以其內容的展開本身就有著極強的邏輯性.圍繞一些合適的問題，就能將整個課程的主要內容自然順暢地串聯起來.因此，問題驅動式教學在數學課程的教學中大有可為.

另一方面，對于高等學校教師來說，研究和教學是互相聯系的一個有機整體.科研是教學的源頭活水，如果沒有科研做支撐，大學課堂教學就會失去靈魂.已故的著名科學家和教育家錢偉長曾指出，“沒有科研做底蘊的教學，就是一種沒有觀點的教育”.在專業領域具有較高科研水平的教師，必然對相關課程的教學內容有更為深刻透徹的思考，對課程知識有更為準確的把握，在教學中更易做到“深入淺出”，幫助學生更好的學習與理解.此外，教師能夠及時將最前沿的學術成果不斷充實補充到自己的課堂中，彌補原有的較陳舊的課程知識與最新前沿研究之間的“斷層”，這將極大地吸引學生的學習興趣.在數學領域，在每年的國家自然科學基金項目申報中，對于應用數學和計算數學項目的資助，基金委越來越鼓勵和支持問題驅動的數學研究.進入21世紀以來，伴隨著我們國家從“數學大國”到“數學強國”的轉變過程，基金委越來越重視更具實際背景和應用前景的基礎理論和新方法研究.國家到地方的各級研究項目主管部門，鼓勵面向實際問題的數學建模、分析與計算等的應用研究.為了加強對實際問題驅動的應用數學研究的支持，科學部以宏觀調控方式給予傾斜資助，旨在為數學工作者構建一個平臺，鼓勵、促進并資助他們與應用研究人員緊密合作，從事與其他領域密切結合的應用數學研究，充分發揮數學對科技發展、經濟建設及社會進步的重要作用.

因此，問題驅動的數學教學是一種順應學科發展趨勢的教學方法.此外，問題驅動的數學教學方法的另一個優勢是，在學習一門數學課程時，更容易讓學生了解與把握該課程的基本思想，掌握最核心、最有用、最生動的部分.

眾所周知，抽象難懂是數學課程的一個顯著特點.在學習數學課程時，學生可以體會到抽象的優勢，學習數學的思維方式，以及如何用數學的思維方式準確、科學地理解數學現象，并將這種思維方式帶到將來的學習和研究工作中去.但是，在學習數學類課程的時候，學生普遍反映課程難學.正是由于高等代數抽象的特性以及內容與知識體系的豐富性，再加上近年來的課程改革縮減了課時，使得數學學科課程的教學面臨一些問題.

在教法與學法上，對于大學數學特別是數學類本科專業，對學生的數學理論知識和精確的數學思維以及數學表達（包括文字和數學表達式）要求很高.中學生學習數學，大多不需要知道知識的來龍去脈，只要會做相應的計算和簡單推理，不講究邏輯性、系統性和嚴密性.在進入高等教育階段后，數學專業課程中所強調的概念、符號、邏輯以及整個體系的嚴密性與學生們在中學養成的習慣產生了激烈的沖突.經常在學習某個定理的時候，有學生覺得定理結論是顯然的，發出“這也需要證明？”的感嘆.這種現象的本質原因是數學課程所注重的學習及表達方式在中學沒有源頭.因此，很多學生在學習的初期遇到了極大的障礙，掉隊現象嚴重，有一部分學生最后直接完全放棄.數學學科的眾多分支，他們原始的核心思想與形式是樸素的、自然的，容易被人理解與接受的.只是隨著歷史的發展，邏輯基礎的加固和各種研究的深化，他們變成了一個龐然大物，讓初學者望而生畏.對于初學者來說，問題驅動的數學教學更能吸引學生的注意力.

我們以線性代數和數值分析課程中的兩個教學案例來拋磚引玉，說明怎么樣給出問題，簡單演示如何進行問題驅動的數學教學.

線性代數處理的是有限維線性空間的理論.如果嚴格一點，關于線性空間的理論應該叫線性代數，再加上一點多項式理論，就叫高等代數了.在線性代數課中，引入介紹逆矩陣相關知識時，我們可以向學生介紹逆矩陣的實際用處，提高學生主動學習的興趣和積極性[2].比如，逆矩陣可應用于通信中的信息編碼和解碼.編碼是指采用某種算法將明文數據加密后轉換成密文數據發送出去，而解碼是指采用對應的算法將密文解密后轉換成明文.矩陣的求逆運算正好能很好地解釋這一相反的過程.

在數值分析課中，在描述插值知識的時候，我們可以引導學生主動思考.函數是描述自然界客觀規律的重要工具，實際應用中許多函數是通過實驗或者觀測得到的，其形式是一張函數表，作一條曲線，其類型（代數多項式函數，三角函數，指數函數……）是事先人為給定的，該曲線經過所有點，這就是所謂的插值問題[3].通過讓學生查找資料，分組討論，了解插值法的產生背景，中外數學家在此問題上研究的進程，這種古老的分析問題數學方法應用在哪些課題中？分析關于多項式插值的理論依據是什么？通過這些簡單的問題，我們即思考，對于函數f（x）是否存在這樣的多項式函數P（x）能精確地逼近它呢？

這種問題驅動的教學模式下，教師給出數學知識的實際應用背景，引導學生自主探究.它有很多顯著的優點：

1.通過事先設定的一系列和課程知識緊密聯系的問題，任課教師可以直接快速地激發學生的求知欲望和主動學習的興趣.

2.完整展現了問題從提出、推進到最后解決的全過程.在這個過程中，學生一方面，可以利用一些具體問題了解體會所學學科中科研工作是怎么展開的，另一方面，可以通過尋求問題的解決方案活躍思維并提升自身的創新能力.

3.以問題為中軸線，將很多看似零散的知識點自然地聯系在一起，形成一個框架式的知識體系.學生們不容易遺忘，還能靈活使用.

【參考文獻】

[1]孫紹榮.高等教育方法概論[M].上海：華東師范大學出版社，2010.

[2]丘維聲.高等代數[M].北京：科學出版社，2013.

[3]李慶揚，王超能，易大義.數值分析[M].北京：清華大學出版社，2008.