用簡單枚舉法研究四元群的結構

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【摘要】群論的目的是為了給出群的結構，即為了弄清到底有多少種不同的群（抽象群）.當群中的元素個數很少時，我們可以把群中的元素一一列舉出來，再根據群的元素的性質去研究群的結構.此方法顯然不是群論研究的一般可行的方法，但卻是一種最為基礎的簡易方法，它的意義在于：它能使我們積累起關于群的結構的一些樸素而直觀的認識.本文將用這種簡單枚舉法給出四元群的結構.

【關鍵詞】簡單枚舉法；群論；群的結構

首先我們用枚舉法得到一元群、二元群、三元群的結構，再把這種方法應用在四元群的結構研究中.

對于單點集G={e}，有G×G={（e，e）}.G×G到G的代數運算僅有一個，記其為

：G×G→G，

（e，e）→e，

顯然G對其代數運算 構成群，我們稱此群為單點群.

定理1設G是僅含三個元素的集G={e，a，b}， 是G的一個代數運算，則G是（對于代數運算 ）群G的代數運算 為：

eab

eeab

aaa a=a2=ba b=e

bbb a=eb b=b2=a

證明充分性.根據上表取x，y，z∈G，驗證 適合結合律，即x （y z）=（x y） z.當x，y，z中至少有一個是e時，x （y z）=（x y） z顯然成立.當x，y，z不全為e時，由于G={e，a，b}，所以x，y，z在a，b中取，一共有以下幾種情形.（1）x，y，z三個元素全為a，此時有x，y，z按序排列為a，a，a.（2）x，y，z三個元素不全為a.① 兩個是a，一個是b.（ⅰ）x，y，z按序排列為a，a，b.（ⅱ）x，y，z按序排列為a，b，a.（ⅲ）x，y，z按序排列為b，a，a.② 一個是a，兩個是b.（ⅰ）x，y，z按序排列為b，b，a.（ⅱ）x，y，z按序排列為b，a，b.（ⅲ）x，y，z按序排列為a，b，b.③ x，y，z三個元素全為b，此時有x，y，z按序排列為b，b，b.這八種情形中，第一種和最后一種顯然x （y z）=（x y） z也成立.只要驗證中間六種就可以了.經驗證，中間六種情形x （y z）=（x y） z也成立.故 適合結合律.取x∈G，對于G的元e，顯然有e x=x e=x，所以G存在單位元e.因e e=e，a b=b a=e，所以G={e，a，b}的任何元都存在逆元.所以，G是（對于代數運算 ）群.

必要性.因G是（對于代數運算 ）群，所以G有單位元，設其單位元為e，且G的元a，b都有逆元.對于a的逆元a-1有a-1≠e.對a-1分類.當a-1=a時，此時易得a a=a2=e.也容易看到a b≠e，否則a b=e=a a，由消去律知a=b，這與a，b互異矛盾.又知a b≠a，b，所以a bG={e，a，b}.這與 是G的一個代數運算（或者說G對代數運算 是封閉的）相矛盾.所以，a-1=a不成立.這樣就有：a-1=b，所以a b=b a=e.考慮a a=a2，因a a=a2≠a，且已證a-1=a不成立，故易見a a=a2≠e.所以，a a=a2=b.同理可證b b=b2=a.又e是單位元，所以e e=e，e a=a e=a，e b=b e=b.所以，G的代數運算 即為上述表格所示.

定理2設G是僅含四個元素的集G={e，a，b，c}， 是G的一個代數運算，則G是關于代數運算 的群的充分且必要條件是G的代數運算 為①或②或③或④.其中，①②③④分別為如下四個表格.

證明充分性.以上表格①或②或③或④給出的G×G到G的映射 是G的一個代數運算（或者說G對代數運算 是封閉的）.根據上表，取x，y，z∈G，可以驗證結合律x （y z）=（x y） z成立.且對于這個四個表格有，取x∈G，對于G的元e，顯然有e x=x e=x，所以，G存在單位元e.對于這四個表格，我們不妨只以①為例，有e e=e，a b=e，c c=e，所以G={e，a，b，c}的任何元都有逆元.所以，G是關于代數運算 的群.

必要性.因G是關于對代數運算 的群，所以G有單位元，設其單位元為e，且G的元a，b，c都有逆元.對于a的逆元a-1，由前面結論知a-1≠e，所以a-1=a或b或c.對a-1分類.（1）a-1=b時，此時a b=b a=e，b-1=a.由前面結論知c-1只能為c，所以c c=c2=e.由前面結論知a c不為a，不為c，而a c也不能為e，因a b=e，故a c=c a=b.按照同樣的推理方式我們可得a a=a2=c，b c=c b=a，b b=b2=c.又e是單位元，故

e e=e，e a=a e=a，e b=b e=b，e c=c e=c.所以，G的代數運算 為表①所述.（2）a-1=c時，此時情形與（1）類似，同理可以得到G的代數運算 為表②所述.（3）a-1=a時，此時又分為兩個情形：（ⅰ）b-1=c；（ⅱ）b-1-b.對于（3）的（ⅰ），此種情形類似于（1）（2），同理我們可得G的代數運算 為表③所述.考慮（3）的（ⅱ），此時a-1=a，b-1=b.采用與上面相同的推理方式我們可得c-1=c，a2=b2=c2=e，a b=b a=c，a c=c a=b，b c=c b=a.顯然我們可得G的代數運算 為表④所述.

從中我們可以看到：以上四個表格所表示的四元群中，前三個群是同構的.這樣我們就用簡單枚舉法回答了四元群的結構，即四元群本質上只有兩個：①和④所描述的群.證：略.

這樣我們看到：單點群、二元群、三元群本質上都只有一個.簡單枚舉法僅僅適合群中元素個數較少（個數≤4）時的群的討論方法，但是它對我們積累起群的結構的一些初步的直觀的認識，是非常有益的.

【參考文獻】

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