微分方程在經濟管理學中的幾個應用

易強　呂希元

【摘要】本文探討了微分方程在經濟數量分析，特別在動態經濟模型中的應用.

【關鍵詞】微分方程；彈性；動態均衡

微分方程是微積分學中一個重要分支，是不定積分的推廣應用，作為一種經濟數量分析工具非常有用，在經濟領域中對彈性分析和動態均衡模型用處很廣.

一、由價格彈性求需求函數

例1已知某商品的需求量Q對價格P的彈性η=-（5P+2P2）Q，又知該商品價格為10時，需求量為500，求需求函數Q=f（P）.

解由題意得

dQdP·PQ=-5P+2P2Q，

積分得Q=-5P-P2+C，

代入初始條件Q|P=10=500，得C=650，

故Q=650-5P-P2.

二、市場動態均衡價格

設市場價格P=p（t），需求函數Qd=b-ap（a，b>0），供給函數QS=-d+cp（c，d>0），又設價格P隨時間t的變化率與超額需求（Qd-Qs）成正比，求價格函數P=p（t）.

由題意，有

dPdt=A·（Qd-Qs）=-A·（a+c）p+A（b+d），p|t=0=p（0），

由一階線性方程通解公式可得

P=e-∫A（a+c）dt∫A（b+d）·e∫A（a+c）dt+C1

=b+da+c+C1·e-A（a+c）·t.

由初始條件t=0，p=p（0），得

C1=p（0）-b+da+c，

代入上式得

P=p（0）-b+da+ce-A（a+c）·t+b+da+c，

顯然，當

limt→∞p（t）=limt→∞p（0）-b+da+ce-A（a+c）·t+b+da+c=b+da+c，

即當t→∞時，均衡價格為b+da+c.

例2若某商品的市場價格p=p（t）隨時間t變動，其需求函數為Qd=3-2p，供給函數為Qs=-2+3p，又設價格p隨時間t的變化率與超額需求（Qd-Qs）成正比，求價格函數p=p（t）.（注：t=0時，p（0）=5；比例系數A=6）.

解由題意，得：

dpdt=6（Qd-Qs）=-30p+30，p|t=0=5，

解得p（t）=（5-1）e-30t+1=4e-30t+1，

易知：均衡價格為p0=limt→0p（t）=1.

三、純利潤與廣告費的關系

已知某廠的純利潤L對廣告費x的變化率dLdx與常數A和純利潤L之差成正比，當x=0時，L=L0，試求純利潤L與廣告費x之間的函數關系.

由題意得

dLdx=k（A-L），L|x=0=L0（k為常數），

得L=A-Ce-kx，

代入初始條件L|x=0=L0，得L=A（A-L0）e-kx.

例3若某工廠的純利潤L對廣告費x的變化率dLdx與常數5和純利潤L之差比為2.當x=0時，L=50，求純利潤L與廣告費x之間的函數關系.

解由題意得dLdx=2（5-L），L|x=0=50，

得L（x）=5+45e-2x.

【參考文獻】

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