一階微分方程的一題多解

崔伊琳　武海輝

【摘要】本文采用不同的方法對一道一階微分方程的題目進行求解，并由此體現出初等解法在一階微分方程求解中的多樣性.

【關鍵詞】積分因子法；分項組合；一階微分方程；常數變易

本文采用五種方法求解微分方程ydx-（x+y3）dy=0.

具體如下：

解法一（積分因子公式法）

由方程知M=y，N=-（x+y3），

又My≠Nx，故原方程為非恰當方程，

又由My-Nx-M=-2y只和y有關，所以原方程有只和y有關的積分因子μ（y）=e∫-2ydy=1y2，

原方程兩邊同乘1y2得1ydx-xy2+ydy=0，

其中，M=1y，N=-xy2-y，

My=Nx=-1y2，故此方程為恰當方程.

設u（x，y）=∫1ydx+φ（y），則

uy=y∫1ydx+φ′（y）=-xy2-y，

得φ′（y）=-y，則φ（y）=∫-ydy=-12y2+c，

從而原方程的通解為-12y2+xy=c（c為任意常數）.

解法二（觀察法）

通過觀察得積分因子μ=1y2，將1y2乘原方程兩邊得

1ydx-xy2+y=0，

即-ydy+ydx-xdyy2=d-12y2+xy，

故原方程的通解為-12y2+xy=c（c為任意常數）.

解法三（常數變易法）

原方程可變形為dydx=yx+y3，

將y看作自變量，x看作因變量，原方程可化為

dxdy=xy+y2，下面分兩步進行求解：

（1）先求對應齊次線性微分方程dxdy=1y的解.

由公式x=ce∫p（x）dy得

x=ce∫1ydy=cy.

（2）利用常數變易：

設x=c（y）y為原方程的解，代入

dxdy=xy+y2得

c′（y）y+c（y）=c（y）+y2，

易得c′（y）=y，則

c（y）=∫ydy=12y2+c，

故原方程的通解為-12y2+xy=c（c為任意常數）.

解法四（一階非齊次線性公式法）

將x看作因變量，y看作因變量，原方程可化為

dxdy=xy+y2，其中，p（y）=1y，q（y）=y2，

由公式x=e∫p（y）dy∫q（y）e-∫p（y）dydy+c得

x=e∫1ydy∫y2e-∫1ydydy+c=y12y2+c，

故原方程的通解為-12y2+xy=c（c為任意常數）.

解法五（曲線積分法）

通過觀察得積分因子μ=1y2，將1y2乘原方程兩邊得

1ydx-xy2+y=0，為恰當方程，用曲線積分法求解.

取x0=0，y0=0，則u（x，y）=∫x01ydx+∫y0-ydy=1yx-12y2，

故原方程的通解為-12y2+xy=c（c為任意常數）.

【參考文獻】

[1]趙臨龍.常微分方程[M].武漢：華中師范大學出版社，2014.

[2]王克，潘家齊.常微分方程學習指導[M].北京：高等教育出版社，2007.