抽象行列式的計算方法探究

周平

【摘要】行列式是高等代數學習的一個重點內容，而抽象行列式的計算是學生學習的一大重難點.本文基于行列式和方陣的一些性質，介紹計算抽象行列式的幾種方法.這些方法對學生掌握抽象行列式的計算與方陣的相關知識具有指導作用.

【關鍵詞】高等代數；抽象行列式；伴隨矩陣；特征根

【基金項目】四川省高校科研項目（17ZB0464）；重慶師范大學涉外商貿學院自然科學重點項目（KY2017003）.

一、引言

行列式是高等代數課程中的一個重點內容.同時，行列式在計算機、物理和工程技術中也扮演著重要的角色.因此，行列式的計算是理工科學生必學的一個知識.行列式有：數字行列式、字母行列式、抽象行列式.對于數字行列式和字母行列式的計算方法很多，比如，遞推法、拆項法、加邊法等[1-4].但對于抽象行列式的計算鮮有文獻進行研究.本文主要利用行列式與方陣的性質，介紹幾種計算抽象行列式的方法.

二、理論基礎

定義1設矩陣A∈Cn×n，若對λ0∈C，存在非零向量α∈Cn，使

Aα=λ0α，

則稱λ0是A的一個特征值，非零向量α稱為矩陣A的屬于特征值λ0的一個特征向量.

性質1設A是n階方陣，A是A的伴隨矩陣，則

AA=AA=|A|E，|A|=|A|n-1（n≥2）.

性質2設A是n階方陣，使A的特征多項式|λE-A|=0的λ稱為A的特征值.

性質3設f（x）=amxm+am-1xm-1+…+a1x+a0∈C[x]，A∈Cn×n，若λ0是A的特征值，則f（λ0）是矩陣多項式f（A）的特征值.

性質4若A∈Cn×n，則A的特征多項式|λE-A|的各根之積等于|A|.

性質5設A，B是n階方陣，若A與B相似，則|λE-A|=|λE-B|，從而|A|=|B|.

三、計算方法

主要利用上述5個性質去計算一些抽象的行列式，這對學生的初期學習以及考研和參加全國數學競賽的學生具有一定的指導作用.

（一）伴隨矩陣法

主要采用方陣A與伴隨矩陣A的關系，即性質1求行列式.

例1設A是一個三階方陣，已知A+E，A+2E，A+3E都不可逆，試計算12A.

解因為A+E，A+2E，A+3E都不可逆，所以|A+E|=|A+2E|=|A+3E|=0.從而，A的全部特征值是-1，-2，-3.于是，有|A|=（-1）×（-2）×（-3）=-6.

又A是一個三階方陣，根據性質1，有

12A=12A3-1=12A2=1232|A|2

=126×（-6）2=916.

此類問題主要應用方陣A與伴隨矩陣A的關系，同時也注意，遇到題中有方陣A也有伴隨矩陣A時，一般會應用這兩者的關系解題.

（二）相似關系法

本節(jié)主要考慮例2，在本小節(jié)中，本文介紹三種方法求解例2的抽象矩陣.

例2設四階方陣A與B相似，且A的特征值為12，13，14，15，求行列式|B-1-E|.

1.矩陣相似法

利用性質5，要求|B-1-E|，只需找出與B-1-E相似的矩陣即可，當然這個矩陣如果是對角矩陣就好了.因此，目的是去找B-1-E與一個對角矩陣相似.

解由題設A與B相似，根據性質5可知，A與B的特征值相同.于是，B的特征值是12，13，14，15.說明B可逆，且B-1的特征值是2，3，4，5.

由于四階方陣B-1有4個不同特征值，所以，B-1相似于對角矩陣D，

D=2345 .

即存在四階可逆矩陣X，使B-1=X-1DX.

于是，有

B-1-E=X-1DX-E=X-1（D-E）X.

從而，B-1-E與D-E相似.

故，

|B-1-E|=|D-E|

=2345-1111

=1234=24.

2.特征值定義法

要求|B-1-E|，由于B-1-E為四階方陣，故只需找出B-1-E的四個特征值即可.可根據矩陣特征值的定義去找.

解已知A與B相似，由性質5，有A與B的特征值相同.于是，B的特征值是12，13，14，15.說明B可逆，且B-1的特征值是2，3，4，5.

由于B-1為四階方陣，則B-1有且僅有4個特征值.因此，2，3，4，5是B-1的全部特征值.設λ0是B-1的特征值，α是屬于λ0的特征向量，則B-1α=λ0α.

于是，有

（B-1-E）α=B-1α-Eα=λ0α-α=（λ0-1）α.

即λ0-1是B-1-E的特征值.從而，B-1-E的特征值是1，2，3，4.

故，|B-1-E|=1×2×3×4=24.

3.特征值的性質（矩陣多項式）法

要求|B-1-E|，由于B-1-E為四階方陣，故只需找出B-1-E的四個特征值即可.可根據特征值關于特征多項式的性質去找，即利用性質3.

解由題設A與B相似，則A與B有相同的特征值.于是，B的特征值是12，13，14，15.從而B-1的特征值是2，3，4，5.

由于B-1為四階方陣，則B-1有且只有4個特征值.因此，2，3，4，5是B-1的全部特征值.

又，關于B-1的矩陣多項式B-1-E對應的多項式為f（x）=x-1.由性質3，有B-1-E的全部特征值為f（2）=1，f（3）=2，f（4）=3，f（5）=4.

故，|B-1-E|=1×2×3×4=24.

對于抽象行列式的計算，不僅是學生初學時的一個難點，也是學生參加考研時需要注意的一個重難點.抽象行列式的計算涉及的知識多且廣，需要學生對相關知識有一定的熟悉，學會從已知條件中尋找關鍵的信息.

四、總結

抽象行列式的計算是學生學習時的一個難點，由于題目給的已知條件有限，也無法得知矩陣的每個元素，因此，需要學生掌握行列式與方陣的相關性質和聯(lián)系.對于抽象行列式的計算方法與技巧還有很多，比如，利用方陣的跡、特征多項式、若爾當標準型等.本文主要介紹了計算抽象行列式的幾種方法，對于學生掌握方陣相似、方陣特征值、行列式的性質等知識有很大的幫助，不僅提高了他們的學習興趣，也改善了教學效果.

【參考文獻】

[1]楊關玲.行列式的計算方法解析[J].重慶工商大學學報：自然科學版，2015（7）：68-74.

[2]張新功.行列式的計算方法探討[J].重慶師范大學學報，2011（4）：88-92.

[3]陽慶節(jié).一個行列式的多種計算方法[J].高等數學研究，2015（3）：38-42.

[4]段煉，方賢文.線性代數教學中高階行列式若干計算方法探究[J].教育教學論壇，2017（36）：195-196.