關于涉及三角函數及反三角函數的等價無窮小的部分結論

徐澤家

【摘要】等價無窮小在求極限的運算中有著非常重要的作用，尤其是在計算復雜的極限問題時，它可以使問題簡便化.本文系統地歸納并證明了一些常見的涉及三角函數及反三角函數的等價無窮小，正確地使用它們可以使一些復雜的極限運算問題變得簡單.

【關鍵詞】等價無窮??；三角函數；反三角函數；極限

在進行一些復雜的，特別是含有三角函數及反三角函數的極限運算時，如果可以使用等價無窮小替換表達式中的部分元素，則會使計算簡便許多.本文主要討論三角函數、反三角函數和含有x，sinx，tanx，arcsinx，arctanx的多項式的等價無窮小.

一、等價無窮小的部分性質

在探討三角函數及反三角函數的等價無窮小之前，我們先來探討一下等價無窮小的部分性質，以便后文使用.

定理1[1]若f（x）～g（x）且g（x）～h（x）（x→x0），則f（x）～h（x）（x→x0）.

定理2若f（x）～F（x）且g（x）～G（x）（x→x0），則當x→x0時，有：

f（x）+g（x）～F（x）+G（x）（limx→x0f（x）g（x）存在且不等于-1）；

f（x）-g（x）～F（x）-G（x）（limx→x0f（x）g（x）存在且不等于1）.

證明

因為f（x）～F（x）（x→x0），

limx→x0f（x）g（x）=limx→x0G（x）F（x）≠-1，

所以-1+limx→x0f（x）F（x）1+limx→x0G（x）F（x）=limx→x0-1+f（x）F（x）1+G（x）F（x）

=limx→x0f（x）-F（x）F（x）+G（x）=0，

因為g（x）～G（x）（x→x0），limx→x0f（x）g（x）=limx→x0F（x）G（x）≠-1，

所以-1+limx→x0g（x）G（x）1+limx→x0F（x）G（x）=limx→x0-1+g（x）G（x）1+F（x）G（x）

=limx→x0g（x）-G（x）F（x）+G（x）=0，

所以limx→x0f（x）-F（x）F（x）+G（x）+limx→x0g（x）-G（x）F（x）+G（x）

=limx→x0f（x）-F（x）+g（x）-G（x）F（x）+G（x）

=limx→x0f（x）+g（x）F（x）+G（x）-1=0，

所以limx→x0f（x）+g（x）F（x）+G（x）=1.

同理可證：

當limx→x0f（x）g（x）≠1時，

-1+limx→x0f（x）F（x）1-limx→x0G（x）F（x）=limx→x0-1+f（x）F（x）1-G（x）F（x）=limx→x0f（x）-F（x）F（x）-G（x）=0，

-1+limx→x0g（x）G（x）-1+limx→x0F（x）G（x）=limx→x0-1+g（x）G（x）-1+F（x）G（x）=limx→x0g（x）-G（x）F（x）-G（x）=0，

所以limx→x0f（x）-F（x）F（x）-G（x）-limx→x0g（x）-G（x）F（x）-G（x）

=limx→x0f（x）-F（x）-g（x）+G（x）F（x）-G（x）

=limx→x0f（x）-g（x）F（x）-G（x）-1=0，

所以limx→x0f（x）-g（x）F（x）-G（x）=1.

綜上所述，定理2得證.

定理3若f（x）～F（x）且g（x）～G（x）（x→x0），則

f（x）g（x）～F（x）G（x）（x→x0）.

證明因為limx→x0f（x）g（x）F（x）G（x）=limx→x0f（x）F（x）limx→x0g（x）G（x）=1，

所以定理3得證.

二、函數sinx，tanx，arcsinx，arctanx的等價無窮小

公式1[2]當x→0時，sinx～x.

證明limx→0sinxx=1，所以sinx～x.

公式2當x→0時，tanx～x.

證明limx→0tanxx=limx→0sinxxcosx=limx→0sinxxlimx→0cosx=1，所以tanx～x.

公式3當x→0時，arcsinx～x.

證明由洛必達法則，

limx→0arcsinxx=limx→011-x2=1，所以arcsinx～x.

公式4當x→0時，arctanx～x.

證明由洛必達法則，

limx→0arctanxx=limx→011+x2=1，所以arctanx～x.

推論1由定理1并結合上述公式可以得出：

當x→0時，sinx～tanx～arcsinx～arctanx～x.

三、含有x，sinx，tanx，arcsinx，arctanx的多項式的等價無窮小

定義集合A={x，sinx，tanx，arcsinx，arctanx}，則集合A中任意兩個元素配對共有10種組合形式.下面，我們對這10種組合形式一一進行探討.

（一）集合A中任意兩個元素做減法運算所構成的二項式的等價無窮小

公式5當x→0時，x-sinx～16x3.

證明將x-sinx按帶皮亞諾余項的麥克勞林公式展開，得

x-sinx=x33！-x55！+x77！-x99！+…+sinπ+nπ2xnn！+ο（xn），

所以 limx→0x-sinx16x3

=limx→0x33！-x55！+x77！-x99！+…+sinπ+nπ2xnn！+ο（xn）16x3=1，

所以x-sinx～16x3.

公式6當x→0時，arcsinx-x～16x3.

證明由洛必達法則，得

limx→0arcsinx-x16x3=limx→011-x2-112x2=limx→0（1-x2）-32=1，

所以arcsinx-x～16x3.

同理，運用洛必達法則，還可證明以下兩個公式：

公式7當x→0時，x-tanx～-13x3.

公式8當x→0時，arctanx-x～-13x3.

聯立公式5、公式7，并結合定理2，可以得出：

公式9當x→0時，tanx-sinx～12x3.

聯立公式6、公式8，并結合定理2，可以得出：

公式10當x→0時，arcsinx-arctanx～12x3.

聯立公式5、公式8，并結合定理2，可以得出：

公式11當x→0時，arctanx-sinx～-16x3.

聯立公式6、公式7，并結合定理2，可以得出：

公式12當x→0時，arcsinx-tanx～-16x3.

聯立公式5、公式6，并結合定理2，可以得出：

公式13當x→0時，arcsinx-sinx～13x3.

聯立公式7、公式8，并結合定理2，可以得出：

公式14當x→0時，arctanx-tanx～-23x3.

觀察公式5—14，我們可以猜想出以下結論：

定理4設：

（1）在點x0的某去心鄰域內，函數f（x）和g（x）均存在反函數及一階導函數，且f′（x）-g′（x）≠0；

（2）limx→x0f′（x）g′（x）=1；

（3）當x→x0時，f（x）-g（x）～h（x）；

則：當x→x0時，g-1（x）-f-1（x）～h（x）.

證明limx→x0g-1（x）-f-1（x）h（x）

=limx→x0g-1（x）-f-1（x）f（x）-g（x）=limx→x01g′（x）-1f′（x）f′（x）-g′（x）

=limx→x01f′（x）g′（x）=1.

定理4得證.

定理4的運用較為廣泛，例如，若已知ex-1-arctanx～12x2（x→0），通過定理4，我們可以輕松地得到tanx-ln（x+1）～12x2（x→0）.

（二）集合A中的元素做加法運算所構成的多項式的等價無窮小

結合定理2和推論1可以得出：

推論2設集合A={x，sinx，tanx，arcsinx，arctanx}，則集合A中任意兩個元素相加組合成的二項式都是2x的等價無窮?。▁→0）.

結合定理2、定理3和推論1可以得出：

推論3當x→0時，

a1xm1+a2xm2+…+arxmr+b1sinn1x+b2sinn2x+…+bssinnsx+c1tank1x+c2tank2x+…+cttanktx+d1arcsinp1x+d2arcsinp2x+…+duarcsinpux+h1arctanq1x+h2arctanq2x+…+hvarctanqvx

～

a1xm1+a2xm2+…+arxmr+b1xn1+b2xn2+…+bsxns+c1xk1+c2xk2+…+ctxkt+d1xp1+d2xp2+…+duxpu+h1xq1+h2xq2+…+hvxqv，

其中，數列{ar}，{bs}，{ct}，{du}，{hv}，{mr}，{ns}，{kt}，{pu}，{qv}的各項均為自然數.

（三）集合A中的任意兩個元素的冪做減法運算所構成的二項式的等價無窮小

推論4設集合A={x，sinx，tanx，arcsinx，arctanx}，在集合A中任取兩個元素，分別記為函數f（x）和函數g（x），則當x→0時，fm（x）-gm（x）～mxm-1[f（x）-g（x）]（m為正整數）.

證明

fm（x）-gm（x）=[f（x）-g（x）]∑m-1k=0fk（x）gm-k-1（x），

由定理3得fk（x）gm-k-1（x）～xm-1（x→0），

再由定理2得∑m-1k=0fk（x）gm-k-1（x）～mxm-1（x→0），

所以fm（x）-gm（x）～mxm-1[f（x）-g（x）]（x→0），推論4得證.

（四）集合A中的元素做加減混合運算所構成的高次多項式的等價無窮小

對于多項式

a1xm1+a2xm2+…+arxmr+b1sinn1x+b2sinn2x+…+bssinnsx+c1tank1x+c2tank2x+…+cttanktx+d1arcsinp1x+d2arcsinp2x+…+duarcsinpux+h1arctanq1x+h2arctanq2x+…+hvarctanqvx（其中，數列{ar}，{bs}，{ct}，{du}，{hv}的各項均為整數，數列{mr}，{ns}，{kt}，{pu}，{qv}的各項均為自然數），

要想找到它的關于x的冪函數所構成的高次多項式的等價無窮小，則必須綜合運用定理2、推論3和推論4.

例如，要想找到多項式tan2x-2arctan2x-2sin4x+3arcsin5x在x→0時的等價無窮小，可先根據推論4得出tan2x-arctan2x～43x4，從而tan2x-2arctan2x-2sin4x+3arcsin5x～43x4-arctan2x-2sin4x+3arcsin5x，再由推論4得出43x4-43sin4x～89x6，最后根據定理2和推論3得出tan2x-2arctan2x-2sin4x+3arcsin5x～-x2-23x4+3x5+89x6（x→0）.

四、上述結論的應用

對于上述結論，如果能夠正確使用，則可以使復雜問題簡便化，從而提高解決復雜問題的正確性和效率.

例1[3]求limx→0sin（xn）（sinx）m（n，m為正整數）.

解因為當x→0時，sin（xn）～xn，（sinx）m～xm，

所以limx→0sin（xn）（sinx）m=limx→0xnxm=xn-m.

例2求limx→064[arctan（arcsinx-tanx）+tanx-arcsinx]（31+x2-1）ln7（arcsinx+arctanx+1）.

解因為當x→0時，arcsinx-tanx～-16x3，

arctanx-x～-13x3，

31+x2-1～13x2.

由推論2得arcsinx+tanx～2x，

所以limx→064[arctan（arcsinx-tanx）+tanx-arcsinx]（31+x2-1）ln7（arcsinx+arctanx+1）

=limx→0-64（arcsinx-tanx）3x2（arcsinx+arctanx）7

=limx→0-64-16x33x2（2x）7

=1432.

例3判斷級數∑∞n=1tan1n+arctan21n+5arctan31n-arctan1n的斂散性.

解由公式14得：當x→0時，tanx-arctanx～23x3.

由推論1、推論3得：

當x→0時，arctan2x+5arctan3x～x2+5x3.

根據定理2得：

當x→0時，

tanx+arctan2x+5arctan3x-arctanx～x2+173x3.

所以

limn→∞tan1n+arctan21n+5arctan31n-arctan1n1n2+173n3=1.

因為級數∑∞n=11n2+173n3收斂，

故級數∑∞n=1tan1n+arctan21n+5arctan31n-arctan1n收斂.

例4求

limx→06（tan100x-arcsin100x-arcsin200x）（sinx-arctanx）100x2（tanx+2sinx+3arcsinx）400.

解因為tan100x-arcsin100x～1006x102，arcsin200x～x200，

（sinx-arctanx）100～x3006100，

x2（tanx+2sinx+3arcsinx）400～6400x402，

所以limx→06（tan100x-arcsin100x）（sinx-arctanx）100x2（tanx+2sinx+3arcsinx）400=1006500，

limx→0（sinx-arctanx）100arcsin200xx2（tanx+2sinx+3arcsinx）400=0，

所以原極限=1006500.

【參考文獻】

[1]毛羽輝，韓士安，吳畏.數學分析（第四版）學習指導書（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2011：91.

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[3]唐曉文.高等數學：理工類（上冊）[M].上海：同濟大學出版社，2012：43.