一道課后題的推廣分析

強謀　武海輝

【摘要】本文對教材一道經典隱式微分方程習題的三種推廣進行分析.

【關鍵詞】隱式微分方程

本文是對教材x（y′）3=1+y′隱式微分方程的三種推廣分析，具體如下：

推廣一把原方程的x變成mx，把原方程的（y′）3變成（y′）n，則把原方程變成mx（y′）n=1+y′.（1）

分析方程（1）是關于x的隱式微分方程，我們引入參數，將隱式方程轉化為顯式可求解的方程，從而進行求解.

解法一令y′=p，方程（1）可化為x=m-1（p-n+p-（n-1）），兩邊同時對y求導整理得dpdy=mpn-n-（n-1）p，

方程對于p來說是可分離變量方程，

故分離變量得-dy=dpn+（n-1）pmpn，

兩邊同時積分整理得y=nm（n-1）pn-1+n-1m（n-2）pn-2+c（其中c是任意常數）.

綜上所述，方程（1）的通解為

x=m-1（p-n+p-（n-1）），y=nm（n-1）pn-1+n-1m（n-2）pn-2+c （其中c為任意常數）.

解法二令y′=t-1，代入原方程得x=m-1（tn+tn-1）.

由dy=y′dx可得

dy=1tnmtn-1+n-1mtn-2dt=nmtn-2+n-1mtn-3dt，

兩邊同時積分整理得y=nm（n-1）tn-1+n-1m（n-2）tn-2+c（其中c是任意常數）.

綜上所述，方程（1）的通解為

x=m-1（tn+tn-1），y=nm（n-1）tn-1+n-1m（n-2）tn-2+c （其中c為任意常數）.

推廣二把原方程的x變成xm，把原方程的（y′）3變成（y′）n，則把原方程變成xm（y′）n=1+y′.（2）

分析方程（2）是關于x的隱式微分方程，我們引入參數，將隱式方程轉化為顯式可求解的方程，從而進行求解.

解法一令y′=p，方程（2）可化為xm=p-n+p-（n-1），

兩邊同時對y求導整理得dpdy=mxm-1pn-n-（n-1）p，

方程對于p來說是可分離變量方程，

故分離變量得-dy=dpn+（n-1）pmxm-1pn，

兩邊同時積分整理得y=nmxm-1（n-1）pn-1+n-1mxm-1（n-2）pn-2+c（其中c是任意常數）.

綜上所述，方程（2）的通解為

x=mp-n+p-（n-1），y=nmxm-1（n-1）pn-1+n-1mxm-1（n-2）pn-2+c

（其中c是任意常數）.

解法二令y′=t-1，代入原方程得xm=tn+tn-1，

由dy=y′dx，

dy=1tnmxm-1tn-1+n-1mxm-1tn-2dt

=nmxm-1tn-2+n-1mxm-1tn-3dt，

兩邊同時積分整理得

y=nmxm-1（n-1）tn-1+n-1mxm-1（n-2）tn-2+c（其中c為任意常數）.

綜上所述，方程（2）的通解為

x=mtn+tn-1，y=nmxm-1（n-1）tn-1+n-1mxm-1（n-2）tn-2+c （其中c為任意常數）.

推廣三把原方程的y′變成（y′）m，把原方程的（y′）3變成（y′）n，則把原方程變成x（y′）n=1+（y′）m.（3）

分析方程（3）是關于x的隱式微分方程，我們引入參數，將隱式方程轉化為顯式可求解的方程，從而進行求解.

解法一令y′=p，方程（3）可化為x=p-n+p-（n-m），

兩邊同時對y求導整理得dpdy=pn-n-（n-m）p，

方程對于p來說是可分離變量方程，

故分離變量得-dy=dpn+（n-m）ppn，

兩邊同時積分整理得y=n（n-1）pn-1+n-1（n-m-1）pn-m-1+c（其中c為任意常數）.

綜上所述，方程（3）的通解為

x=p-n+p-（n-m），y=n（n-1）pn-1+n-1（n-m-1）pn-m-1+c （其中c為任意常數）.

解法二令y′=t-1，代入原方程得x=tn+tn-m，

由dy=y′dx得

dy=1t{ntn-1+（n-m）tn-m-1}dt={ntn-2+（n-m）tn-m-2}dt，

兩邊同時積分整理得y=nn-1tn-1+n-mn-m-1tn-m-1+c（其中c為任意常數）.

綜上所述，方程（3）的通解為

x=tn+tn-m，y=nn-1tn-1+n-mn-m-1tn-m-1+c （其中c為任意常數）.

【參考文獻】

[1]趙臨龍，李必文，張明波.常微分方程[M].武漢：華中師范大學出版社，2014.

[2]王高雄，周之銘，朱思銘，等.常微分方程：第2版[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3]丁同仁，李承志.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，1985.