洛必達法則教學方式研究

劉美玲

【摘要】探討一元函數微積分中洛必達法則的教學方式.針對洛必達法則適用題型多，但計算煩瑣、易出錯的特點，舉例并歸類說明不同類型題目如何正確使用法則.

【關鍵詞】微積分；洛必達法則；未定式極限

【基金項目】上海電機學院學科建設項目資助（16JCXK02）.

一元函數微積分中求極限是很重要的一部分內容.求極限的幾類方法中，洛必達法則是其中很有效、適用范圍較廣的一類方法.該法則內容簡單，但數學題目千變萬化，在多年的教學實踐中發現，學生在應用洛必達法則求極限中依然存在很多問題.

一、洛必達法則介紹

定理（洛必達法則）設：（1）當x→0時，函數f（x）及F（x）都趨于零；

（2）在點a的某鄰域內（點a本身可以除外），f′（x）及F′（x）都存在且F′（x）≠0；

（3） limx→af（x）F（x）存在（或為無窮大）.

那么 limx→af（x）F（x）=limx→af′（x）F′（x）.

當x→∞時，以及x→a時，該法則仍然成立.

洛必達法則本身表達簡潔，使用方便，適用的題型較多.然而依據多年教學經驗，發現學生解題過程中依然有很多問題，比如，不知道和其他方法結合使用，導致解題困難；不知道恰當整理每次的結果，再次使用洛必達法則而導致解題失敗等原因.舉例如下：

例1求 limx→0arcsinxx1x2.

解limx→0arcsinxx1x2=limx→0elnarcsinx-lnxx2=elimx→0lnarcsinx-lnxx2

=elimx→011-x2arcsinx-1x2x=elimx→0x-arcsinx1-x2x2arcsinxlimx→0121-x2

=e12limx→0x-arcsinx1-x2x3=e12limx→0xarcsinx1-x23x2

=e16limx→0xarcsinxx2limx→011-x2=e16.

以上是這道題目使用洛必達法則的一般解法，步驟比較多，學生前三步基本沒問題，但到了第四步，很多學生不知道分開求極限，把 limx→0121-x2這個極限及時丟掉，以致后續步驟進行困難.但這樣的解法步驟多，解題煩瑣，不妨結合等價無窮小或者其他求極限方法，解法會簡潔很多.下面給出另外一種解法.

解法2limx→0arcsinxx1x2=limx→0e1x2lnarcsinxx=elimx→0arcsinxx-1x2

=elimx→011-x2-13x2=elimx→01-1-x23x21-x2

=elimx→012x23x21-x2=e16.

解法2先用等價無窮小代換，再用洛必達法則，相比解法1，步驟明確簡潔.因此，洛必達法則需合理結合其他求極限方法使用.

例2求limx→∞1-1xx-2.

解法1limx→∞1-1xx-2=limx→∞e（x-2）ln1-1x

=elimx→∞（x-2）ln1-1x=elimx→∞ln1-1x1x-2=elimx→∞-1x1x-2

=elimx→∞-x-2x=e-1.

解法2limx→∞1-1xx-2=limx→∞1+-1x-xx-2-x

=elimx→∞-x-2x=e-1.

以上用兩種基本方法求解了例2，解法1是洛必達法則結合等價無窮小代換，解法略煩瑣；解法2是用兩個重要極限公式求解，非常簡潔明了，步驟很少，易于看懂.因此，例2就不適合用洛必達法則求解，兩個重要極限才是合適的選擇.

例3求limx→∞x+cosxx.

解limx→∞x+cosxx=limx→∞1-sinx1=limx→∞1-sinx，用洛必達法則求解后，得出結果是極限不存在，但實際上

limx→∞x+cosxx=limx→∞1+cosxx=1.洛必達法則對本題失效.

通過上面的分析，學生要會熟練靈活地運用洛必達法則求解函數的極限，必須對其條件、結論全面地了解、掌握，在學習過程中多加練習.學會結合其他求極限方法，學會整理每一次求解結果，知道有些題目即使滿足洛必達法則的條件，洛必達法則也不適用，甚至無法求解.

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系.高等數學：第7版[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]袁建軍，歐增奇.高等數學中用洛必達法則求極限需注意的問題[J].西南師范大學學報（自然科學版），2012（6）：241-244.

[3]雒志江.應用洛必達法則中常見問題分析[J].山西大同大學學報（自然科學版），2008（5）：11-13.