一道典型試題的推廣

李星妍　武海輝

【摘要】本文主要討論對一道典型隱式微分方程x3+（y′）3-3xy′=0的幾種推廣.

【關鍵詞】不顯含y的隱式微分方程

本文我們采用三種方法對x3+（y′）3-3xy′=0微分方程進行推廣.具體如下：

推廣一把原方程的x3變為xn，（y′）3變為（y′）n，3xy′變成xny′，將原方程變形為xn+（y′）n-xny′=0.（1）

分析首先觀察方程（1）是一個可解出x的隱式微分方程，所以我們引入參數，將隱式方程轉化為顯式可求解的方程，從而進行求解.

解令y′=tx，方程（1）可變化為

x=t-1+tn-1，y′=1+tn.

又dy=dydxdx=（1+tn）1t+tn-1′dt，

dy=-1t2+（n-1）tn-2-tn-2+（n-1）t2n-2dt.

兩邊同時積分可得

y=1t+tn-1-1n-1tn-1+n-12n-1t2n-1+c（其中c是任意常數）.

綜上所述，方程（1）的通解為

x=1t+tn-1，y=1t+tn-1-1n-1tn-1+n-12n-1t2n-1+c

（其中c是任意常數）.

推廣二原方程的x3變為kxn，（y′）3變為m（y′）n，3xy′變成kxny′，方程變為kxn+m（y′）n-kxny′=0.（2）

分析首先觀察方程（2）是一個可解出x的隱式微分方程，所以我們引入參數，將隱式方程轉化為顯式可求解的方程，從而進行求解.

解令y′=tx，方程（2）可變為

x=t-1+mk-1tn-1，dydx=k+mtnk.

又dy=dydxdx=1+mktn1t+mtn-1k′dt，

dy=-1t2+mk（n-1）tn-2-mktn-2+m2k2（n-1）t2n-2dt.

兩邊同時積分可得

y=1t+mktn-1-mk·1n-1tn-1+m2k2（n-1）12n-1t2n-1+c（其中c是任意常數）.

綜上所述，方程（2）的通解為

x=1t+mtn-1k，y=1t+mktn-1-mk·1n-1tn-1+m2k2·n-12n-1t2n-1+c

（其中c是任意常數）.

推廣三原方程x3變為xn，（y′）3變為（y′）n，3xy′變為mx（y′）n，方程變為xn+（y′）n-mx（y′）n=0.（3）

分析首先觀察方程（3）是一個可解出x的隱式微分方程，所以我們引入參數，將隱式方程轉化為顯式可求解的方程，從而進行求解.

解令y′=tx，方程可變為

x=1mtn+1m，dydx=1mtn-1+tm，

又dy=dydxdx=1mtn-1+tm1mtn+1m′dt，

dy=-nm2·1tn-1+n+1-nm2·1tndt.

兩邊同時積分可得

y=-nm2·1-2n+1t2n+1-nm2·1-n+1t-n+1+c（其中c是任意常數）.

綜上所述，方程（3）的通解為

x=1mtn+1m，y=-nm2·1-2n+1t2n+1-nm2·1-n+1t-n+1+c

（其中c是任意常數）.

推廣四將原方程的3xy′變成nxy′，則原方程變形為x3+（y′）3-nxy′=0.（4）

分析首先觀察方程（4）是一個可解出x的隱式微分方程，所以我們引入參數，將隱式方程轉化為顯式可求解的方程，從而進行求解.

解令y′=tx，方程（4）可變化為x=nt1+t3，y′=nt21+t3，

又dy=y′dx=nt21+t3nt1+t3′dt=n2t2（1-2t3）（1+t3）3dt，

兩邊同時積分可得y=-n22·1（1+t3）2+2n23·1（1+t3）+c（其中c是任意常數）.

綜上所述，方程（4）的通解為

x=nt1+t3，y=-n22·1（1+t3）2+2n23·1（1+t3）+c

（其中c是任意常數）.

【參考文獻】

[1]趙臨龍.常微分方程[M].武漢：華中師范大學出版社，2014.

[2]王克，潘家齊.常微分方程學習指導[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]朱思銘.常微分方程學習輔導與習題解答[M].北京：高等教育出版社，2015.