矩陣按行列分塊方法的應用

張亮亮　薛震

【摘要】對矩陣進行分塊是線性代數中一種很重要且簡便有效的方法.本文舉例說明了使用按行列分塊的方法來證明矩陣秩的等式和不等式、線性方程組解的相關問題是簡捷方便有效的.

【關鍵詞】矩陣；行分塊法；列分塊法

【基金項目】本文受到中北大學教育教學改革項目（20160223）的支持.

對矩陣進行分塊是線性代數中一種很重要且簡便有效的方法.矩陣分塊方法不唯一，常用的有四種：行分塊法 A=α1α2αm、列分塊法A=（β1，β2，…，βn）、分成兩塊A=（A1，A2）、分成四塊A=C1C2C3C4.下文將舉例說明矩陣按行列分塊方法在解決秩、線性方程組和向量組等相關問題中的應用.

一、利用按行列分塊方法解決秩的相關問題

例1（矩陣秩的性質）設A=（aij）m×n，B=（bij）n×s，證明r（AB）≤min[r（A），r（B）].

證明一方面，將A分成m×n塊，B按行分塊，各行記為Bi（i=1，2，…，n），則

AB=a11a12…a1na21a22…a2n…………am1am2…amnB1B2Bn=a11B1+a12B2+…+a1nBna21B1+a22B2+…+a2nBn…………………am1B1+am2B2+…+amnBn，

所以AB的行是B的行的線性組合，從而r（AB）≤r（B）.

另一方面，將A按列分塊A=（A1，A2，…，An），B分成n×s塊，則

AB=（b11A1+b21A2+…+bn1An，b12A1+b22A2+…+bn2An，…，b1sA1+b2sA2+…+bnsAn），

所以AB的列是A的列的線性組合，從而r（AB）≤r（A）.

綜上所述，r（AB）≤min[r（A），r（B）].

例2設A=（aij）m×n，B=（bij）n×s，AB=O，證明r（A）+r（B）≤n.

證明將A分成1×1塊，B按列分塊B=（B1，B2，…，Bs），則AB=（AB1，AB2，…，ABs），由AB=O知B的列是齊次線性方程組AX=0的解，所以基礎解系中含n-r（A）個解，從而r（B）≤n-r（A），即r（A）+r（B）≤n.

例3設A為m×n矩陣，I為n階單位陣，證明：（1）XA=I（X為n×m未知矩陣）r（A）=n；（2）由AB=AC可得B=Cr（A）=n，其中B，C都是n×s矩陣.

證明（1）設A的行向量組為α1，α2，…，αm（均為n維），I的行向量組為ε1，ε2，…，εn（即n維單位坐標向量組）.

必要性.若矩陣方程XA=I有解，則ε1，ε2，…，εn可由α1，α2，…，αm線性表示，又因為n維向量組α1，α2，…，αm可由ε1，ε2，…，εn線性表示，所以α1，α2，…，αm與ε1，ε2，…，εn等價，從而r（α1，α2，…，αm）=r（ε1，ε2，…，εn），即r（A）=n.

充分性.若r（A）=n，則n維向量組α1，α2，…，αm的秩是n，從而任何n維向量都可由它線性表示，當然ε1，ε2，…，εn也可由它線性表示，由線性組合系數所構成的n×m矩陣即為XA=I的解.

（2）必要性.用反證法.假設r（A）

充分性.若r（A）=n，由上知方程XA=I有解X=K，即KA=I.于是由AB=AC可得（KA）B=（KA）C，即B=C.

二、利用按行列分塊方法解決線性方程組的相關問題

例4設A為n階方陣，則AX=b對任何b都有解|A|≠0.

證明充分性.由克拉默法則易證.

必要性.將A按列分塊A=（A1，A2，…，An），則AX=b可表為x1A1+x2A2+…+xnAn=b，特別地取b=ei（i=1，2，…，n），則向量組A1，A2，…，An與e1，e2，…，en等價，所以r（A）=r（A1，A2，…，An）=r（e1，e2，…，en）=n，從而|A|≠ 0.

例5設A為m×n陣，β=（b1，b2，…，bn）T是n維列向量，證明方程組Ax=0的解全是方程βx=0的解的充要條件是β可由A的行向量組α1，α2，…，αm線性表示.

證明充分性.設存在常數k1，k2，…，km，使得β=k1α1+k2α2+…+kmαm，令x=（x1，x2，…，xn）T為Ax=0的解，其中A=[α1，α2，…，αm]T，即αix=0，i=1，2，…，m，于是βx=k1α1x+k2α2x+…+kmαmx=0，即Ax=0的解全是方程βx=0的解.

必要性.構造線性方程組Ax=0，βx=0， 記Cx=0.顯然Cx=0的解必是Ax=0的解.Ax=0的解全是方程βx=0的解，所以Ax=0的解全是方程Cx=0的解，因此，Ax=0與Cx=0是同解方程組，則有n-r（A）=n-r（C），所以r（A）=r（C），即r（α1，α2，…，αm）=r（α1，α2，…，αm，β），顯然β可由α1，α2，…，αm線性表示.

例6設A=a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann 且|A|=0，|A|中元素aij的代數余子式Aij≠0，試證（Ai1，Ai2，…，Ain）T是方程組Ax=0的一個基礎解系.

證明∵|A|=0，

∴AA=|A|I=O，A=A11A21…An1A12A22…An2…………A1nA2n…Ann，

將A按列分塊A=（α1，α2，…，αn），則AA=A（α1，α2，…，αn）=（Aα1，Aα2，…，Aαn）=（0，0，…，0），即

Aαi=0（i=1，2，…，n），說明αi是齊次線性方程組Ax=0的解.又∵|A|=0，Aij≠0，則存在一個n-1階的非零子式，∴r（A）=n-1，故齊次線性方程組Ax=0的基礎解系只包含n-r（A）=1個解向量，任意一個非零解向量都可作為Ax=0的基礎解系，由Aij≠0知αi≠0，∴αi=（Ai1，Ai2，…，Ain）T≠0是Ax=0的一個基礎解系.

三、利用按行列分塊方法解決向量組的相關問題

例7設A，B分別為n×m與m×n陣且AB=In，證明B的列向量組線性無關，A的行向量組線性無關.

證明設B=（B1，B2，…，Bn）且x1B1+x2B2+…+xnBn=0，即（B1，B2，…，Bn）x1x2xn=0，從而BX=0，兩端左乘A得ABX=0，又AB=In，從而X=0，則x1=x2=…=xn=0，所以B的列向量組線性無關.

由上文知可考慮A′X=0，則B′A′X=0，從而（AB）′X=0，又AB=In，從而InX=0，即X=0，所以A′的列向量組線性無關，從而A的行向量組線性無關.

從上述例題可以看出，矩陣按行列分塊這一有力工具，無論是證明矩陣秩的（不）等式，還是處理線性方程組解的相關問題，都是簡捷靈活有效的，具有較大的優越性.

【參考文獻】

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