高程異常二次曲面擬合的改進算法

楊恪 余代俊 黃強

摘 要：傳統的物理大地測量方法一般采用“移除-恢復”二次曲面法內插出任意點的高程異常，但其精度存在著比較大的限制，轉換正常高的有時會出現30mm以上的偏差。為了提高傳統方法求解的高程異常精度，本文在傳統二次曲面擬合建模過程中新增一個距離因子，即帶余項的二次曲面擬合。分別應用兩種模型對同一地區GPS高程點轉換正常高，傳統的二次曲面解算的高程異常偏差平均值約為14mm，而帶余項的二次曲面解算的高程異常偏差約為9mm。改進后的帶余項的二次曲面擬合法相對傳統方法可以提高求解高程異常精度，精度提升在35.5%左右。

關鍵詞：高程異常；移除_恢復；重力場模型；二次曲面擬合；帶余項的二次曲面擬合

測繪工程領域尤其是大地測量方向的研究人員通常采用物理大地測量方法來解高程異常。該方法的核心是基于重力場模型的“移除_恢復”二次曲面擬合法，先把高程異常中的重力場模型高程異常部分移除，接著對剩余的高程異常進行二次曲面擬合，然后在各個內插點上把移除的重力場模型高程異常恢復。雖然二次曲面擬合法對似大地水準面與WGS84橢球面的差值進行建模在一定程度上可以有效地求解出GPS觀測點的正常高，但是以往采用這種方法的算例中有些正常高轉換的精度偏差達到20-30mm[1]將這種精度下的正常高直接應用于一些精度要求較高的大地測量或者工程測量中。

在整個傳統的物理大地測量方法中，雖然重力場模型幾乎可以覆蓋全球，并且重力場模型數據也可以很方便的獲取，每個地區點的重力異常與當地的實際的重力異常往往存在著系統偏差，這些偏差跟當地的地下密度不均、地形數據等因素的干擾都有著密不可分的關系。[2]本研究把可能的重力異常偏差在相對較小的范圍內隨地點變動的因素考慮進去，并且把該因素的作用量化地反映在“移除_恢復”擬合法過程中的二次曲面擬合環節，從而提出了帶余項二次曲面擬合方法。

1 物理大地測量方法

1.1 高程異常

高程異常是參考橢球面與似大地水準面之間的高差，地面上每個點的高程異常都不相同，主要受重力不均勻的影響。

若已知某測點的大地高為H，水準高為h，則測點的高程異常ζ為：

1.2 地球重力場模型

按照大地測量學的理論，實際的高程異常ξ通常包括ξGM、ξG、ξT[2]表示為下式：

地球重力場模型是用來描述和表示地球重力場的一類基本參數的集合，是對地球重力場的逼近或擬合。本次研究求解重力場高程異常采用的模型是GOCO05c重力場模型，它是歐洲地球物理學會于2016年最新發布的針對先前GOCE衛星探測的高精度和高空間分辨率重力場模型的升級模型，此模型的數據可以從德國地學中心免費獲取。GOCO05c模型中的位系數由衛星軌道分析（用于確定大地水準面的長波特性）、地面重力（中波、短波特性）以及衛星測高三者數值綜合擬合確定。此重力場模型可以提供全面的高精度的包含長中波的高程異常信息，而重力測量中測量的是重力場垂直分量，高于地球測點平面重力多余部分和低于這個平面重力缺失部分是很難直接從重力場模型中計算出來的，所以地球重力場模型難以提供精準的高程異常，因此可以把高程異常分成兩部分：

其中：ξM表示由GOCO05c重力場模型求得的高程異常；Δξ表示實際高程異常和地球重力場模型計算的高程異常之間的差值。Δξ不僅包含重力場高程異常中缺失部分的高程異常，還存在著在實際幾何水準測量獲取高程異常過程中以及計算重力場高程異常過程中不可避免的異常誤差。

1.3 擬合建模

二次曲面擬合法是GPS水準測量中常用的擬合方法之一，已經有很多學者專家研究并發現，二次曲面擬合曲面與似大地水準面之間的符合程度相當高。基于上述理論基礎，假定在測區面積不大，測區內地形起伏相對平緩，已知點的分布比較均勻地區，將剩余高程異常差也可以近似地看作是該小范圍內各點坐標的二次曲面函數。如果已知某測區均勻分布的已測點的剩余高程異常，通過二次曲面擬合法就可以求解出測區待測點的剩余高程異常。

傳統的二次曲面擬合法采用六參數法，其擬合公式為：

本文還提出剩余高程異常變化隨著高程異常變化分布也是有一定規律的，即在某一平緩區域已知某一單點的剩余高程異常，該單點臨域內的剩余高程異常隨著到該點的距離的增加而呈現遞減的趨勢，即該單點對于其臨域內的任一點的剩余高程異常的影響程度隨距離的增加而減少。結合地理信息空間分析，本文選取了距離倒數權重插值法對剩余高程異常的變化規律進行描述。本文引入了一個變量P，P表示已測點的剩余高程異常與實際高程異常之比，已測點的高程異常P可以輕松求算出，對于測區內待測點的剩余高程異常Pi采用距離倒數權重插值法計算：

其中Pk表示已測點的剩余高程異常占比；si表示待測點到已測點之間的平面距離；μ表示距離倒數權重擬合系數。P代表的是剩余高程異常在實際高程異常中的占比，可以有效描述測點剩余高程異常與實際高程異常之間的關系。

因為新增了一個變量P，帶余項的二次曲面模型不僅可以反映剩余高程異常與測點的經緯度的關系，同時把測區內任意測點之間的剩余高程異常內部的相關關系考慮進去，可以在一定程度上提高擬合模型的精度，得出更加精準的剩余高程異常值。

新增的變量P的帶余項的二次曲面擬合法的擬合公式采用七參數法，如下：

從數學角度分析這兩種模型，理論上擬合建模時采用的已知點的個數越多，擬合方程中變量因子越復雜，擬合得到的曲面可以更加精確地逼近所研究的對象。

2 實例分析與比較

本次研究選取了位于四川省某縣域45個鎮（鄉）作為測區，該測區的地形起伏平緩，地面結構復雜度低，在此測區中由傳統幾何水準測量方法可以獲取較為精準的正常高。同時該縣具有完善的基礎測量控制網，在全縣域內布設有10個C級測控點，80個D級測控點，C級控制點監控獲取的點位信息以及高程數據較D級測控點所獲取的無論是精度方面還是有效性方面都有很大的提升，所以本次研究選取縣域內C級水準點進行第一步操作。通過GPS獲取該C級水準點的大地高，結合由四川省測繪地理信息局提供的C級水準點的正常高，可以求解出每個C級水準點的高程異常作為已測點的實際高程異常。

調用Visual Studio 2015平臺上自行編寫的 C#程序，首先導入GOCO05c重力場數據，然后導入任意測點的大地經度、大地緯度以及大地高，可以直接求解出任意測點的重力場高程異常以及剩余高程異常，求解到的10個C級測控點的數據如下：

C01，-2.0415，0.052079、C02，-2.1343，0.054476、C03，-21868，0.055808、C04，-2.2637，0.057727、C05，-2.3609，0060186、C06，-2.4092，0.061328、C07，-2.4436，0.058233、C08，-2.4221，0.058136、C09，-2.3918，0.058104、C10，-2.3439，0057397（點號，高程異常，剩余高程異常占比）

求解出高程異常以及剩余高程異常占比等各項數據之后，同樣基于Visual Studio 2015平臺通過自編C#程序完成傳統二次曲面以及帶余項的二次曲面擬合過程并確定了兩種模型中的各項系數，求出的兩種二次曲面如下：

為了驗證和比較上述兩種模型對于高程異常擬合的精度，選取10個全縣域內的D級測控點分別帶入兩種模型進行計算。在進行帶余項的二次曲面擬合建模之前，必須預先處理求出每個待測D級測控點到已測的每個C級測控你點之間的距離，結合公式（7）確定每個待測點的變量P的值，本次研究確定公式（7）中距離擬合因子μ的值為1，通過計算得到D1-D10點的剩余高程異常占比分別為：0.054631、0.055330、0.055666、0.056046、0.056562、0.057461、0.057925、0.058780、0.059651、0.060021。

兩種模型下求出的10個D級測控點的剩余高程異常以及恢復的高程異常結果如下：

D級測控點重力場高程異常二次曲面擬合剩余高程異常二次曲面擬合恢復高程異常帶余項二次曲面擬合剩余高程異常帶余項二次曲面擬合恢復高程異常傳統二次曲面擬合高程異常偏差帶余項二次曲面擬合高程異常偏差

D01-37.1464-2.0630-39.2094-2.0797-39.22610.010409-0.006291

D02-37.1269-2.1090-39.2359-2.1214-39.24830.011047-0.001353

D03-37.0055-2.1435-39.1490-2.1515-39.15700.0158620.007862

D04-36.9890-2.1651-39.1541-2.1712-39.16020.0197730.013673

D05-36.9820-2.2080-39.1900-2.2103-39.19230.0036690.001369

D06-36.9779-2.2447-39，2226-2.2470-39.22490.011234-0.013534

D07-36.9357-2.2848-39.2205-2.2819-39.2176-0.007627-0.004727

D08-36.8903-2.3219-39.2122-2.3185-39.2088-0.0042230.000823

D09-36.8916-2.3810-39.2726-2.3728-39.2644-0.028873-0.019673

D10-36.8943-2.3987-39.2930-2，3897-39.2840-0.029150-0.01915

結果如上表所示，傳統二次曲面擬合求解的高程異常偏差最大值約為30mm，最小值約為3.7mm，平均值約為14mm，而帶余項二次曲面擬合所得高程異常偏差最大值約為19mm，最小值約為0.8mm，平均值約為9mm。計算兩種模型下求解的10個D級測控點高程異常偏差的標準差分別約為0.052和0.034，通過這兩個標準差的數值可以得出采用帶余項的二次曲面擬合比采用傳統二次曲面擬合計算得到高程異常偏差的精度提升了約35.5%。

3 結論

（1）物理大地測量法可以一定精度地實現GPS大地高向正常高的轉化，當其精度達不到所需求的精度，可以對傳統方法在數據處理、擬合建模方面進行改進。

（2）在一定的區域范圍內考慮區域內部點之間的相互影響關系可以求解出更為精準的GPS高程異常，為小范圍內求解高程異常并提高其精度提供了一個思路。

（3）把復雜的測繪數據與計算機語言結合起來可以方便的解決一些數據處理、擬合建模等問題。

參考文獻：

[1]劉玉嬋，王延霞，李鵬.最小二乘配置模型在 GPS 高程擬合中的應用[J].測繪與空間地理信息，2015（8）：67-69.

[2]樊子德，龔健雅，劉博，李佳霖，鄧敏.顧及時空異質的缺失數據時空插值方法[J].測繪學報，2016（4）：458-465.

作者簡介：楊恪（1994-），男，漢族，碩士，成都理工大學610059，大地測量； 余代俊（1959-），男，漢族，教授，碩士生導師，成都理工大學610059，GPS測量定位技術；黃強（1987-），男，漢族，博士，邛崍市國土不動產局。