叢聚的含氣泡水對線性聲傳播的影響?

范雨喆 陳寶偉 李海森 徐超

1)(哈爾濱工程大學,水聲技術重點實驗室,哈爾濱 150001)2)(海洋信息獲取與安全工信部重點實驗室(哈爾濱工程大學),工業和信息化部,哈爾濱 150001)3)(哈爾濱工程大學水聲工程學院,哈爾濱 150001)(2018年4月18日收到;2018年5月18日收到修改稿)

1 引 言

含氣泡水是重要的自然及工業現象,常見于艦船螺旋槳空化、水下爆炸和生物醫學應用等領域中[1?3].關于含氣泡水中的線性聲傳播問題已有大量研究,主要基于兩種方法.其一是通過集平均[4]或體積平均[5]建立起描述含氣泡水內的聲傳播的基本方程,在結合氣泡動力學方程[6]后,對整體做線性化近似.當然,這些線性聲傳播理論由于忽略了氣泡間的相互作用,會在含氣泡水濃度較高時產生較大誤差.通過考慮氣泡與含氣泡水中的平均量相互作用,可以初步解決這一問題[7?10].另一種方法則是先對氣泡動力學方程做線性化近似,在此基礎上將含氣泡水中的聲傳播問題看作多體多次散射問題[11,12].同樣,在含氣泡水氣泡體積分數較高時,需引入氣泡間的再輻射對理論進行修正[13?16],這種方法也被稱為多泡散射法(multiple-scattering approach,MST)[17].在不考慮氣泡間相互作用時,上述兩種方法在線性聲傳播框架內的結論是一致的.此外,也可以尋求該問題的數值求解辦法,但是其過高的計算量阻礙了精確仿真環境的建立[18].

然而,這些研究的一個共同的重要假設是:氣泡在空間均勻分布且相互間統計獨立.這導致含氣泡水中聲傳播理論大多忽略了含氣泡水內氣泡的空間分布對聲傳播的影響.事實上,含氣泡水中氣泡在空間上分布并均勻是十分嚴苛的條件,即使在實驗室環境中也很難達到.現有的含氣泡水線性聲傳播實驗中,相速度和衰減系數的峰值往往低于理論預測值,且存在低頻偏移[19,20].通過實驗觀測[21],多分散的含氣泡介質內氣泡間可能存在小范圍的聚集趨勢(在后文統一稱作叢聚現象),這為合理解釋預測和測量結論間的偏差提供了研究方向.本文基于MST框架,將準晶體近似(quasi-crystalline assumption,QCA)引入自洽方法(self-consistent approach,SCA)[21,22],推導出了考慮空間分布時多分散介質中的等效聲波波數形式,并在此基礎上引入Neyman-Scott點過程(Neyman-Scott point process,NSP)描述了含氣泡水內氣泡小范圍的叢聚現象[23],給出了叢聚氣泡水內等效聲波波數.考慮到空間分布的統計信息提取對相關研究的精確與否起到重要作用,本文引入了一種比例無偏估計,通過該方法獲得了仿真環境下叢聚含氣泡水模型的相速度及衰減系數,該建模及統計方法也可作為相關實驗工作的理論基礎.

2 氣泡水中聲傳播的自洽方法

2.1 氣泡的小幅度振動

考慮氣泡在聲場作用下的動力學方程,假設其在振動過程中始終保持球形,并忽略氣泡與水間的質量交換,氣泡的徑向振動可由Prosperetti修正的Keller-Miksis方程[6]表示為

其中pin為

其中p0為環境大氣壓,pv是泡內蒸汽壓,σ是液體表面張力,μ是液體的黏滯系數,c0為聲波在液體中的傳播速度,ρl是液體密度,γ是泡內氣體的多方指數,a0是氣泡初始半徑,a=a(t)為氣泡任意時刻的半徑,p∞為聲場和環境壓力.(1)式在低Mach數下,能準確地模擬氣泡在聲場中振動的動力學過程.對(1)式做一階微擾處理,此時穩態的氣泡隨聲場做同頻率周期振動,假設a(t)=a0(1+X),p∞=p0(1?εe?jωt)和pin=pin,equ(1?ΦX),可得氣泡的線性動力學方程[24]

此處

其中pin,equ=p0+2σ/a0,在多方過程假設下,Re{Φ}=3γ.為建立氣泡振動與MST理論的聯系,必須求解單個氣泡的散射聲場.在以ω為角頻率的聲場中,對ri處的氣泡,將其散射聲場寫作ps(r)=fspinc(ri)G(r?ri)exp(?iωt),其中G(r?ri)=exp(ik|r?ri|)/|r?ri|是三維空間的格林函數[25],pinc(ri)為ri位置處的入射聲場,ps(r)為點氣泡在r處氣泡的散射聲場,fs為氣泡的聲散射幅度.對脈動氣泡,根據Eular方程,有

表示了氣泡散射聲場和氣泡徑向振動的關系.考慮到氣泡的徑向運動可以表示為a(t)=a0[1+X(t)],且其隨聲場做穩態的同頻率周期振動,于是有ω2X=?¨X,將其代入(3)式并結合(4)式[24],又考慮到在點源假設下ka0?1,可以求解單個氣泡的聲散射幅度fs為

2.2 自洽方法

圖1 含氣泡水中的聲傳播Fig.1.Acoustic propagation in bubbly water.

當聲波在含氣泡水中傳播時,每個氣泡都會對聲波進行再輻射,而其輻射的聲波又會被其他氣泡吸收和再次輻射.如圖1所示,采用SCA時,忽略時間因子exp(?iωt),將氣泡的聲散射幅度重新寫作fs(ai),其中ai為氣泡i的初始半徑,其相應的散射聲場也重新寫為pis(r,ai) =fs(ai)pinc(ri)G(r?ri).考慮到等效波數并非入射角度的函數,為簡化問題,假設含氣泡水內聲波沿z軸傳播,可將其在ri處的聲壓簡化為

其中κ為含氣泡水內等效波數,P為相應的聲壓幅值.由于研究對象為多分散介質,氣泡半徑ai也同樣作為隨機變量引入,各個散射體的散射幅度fs(ai)都變為隨機變量的函數.

任取一個氣泡j作為參考點,其空間位置變量為rj,氣泡半徑為aj,二者都為隨機變量(圖1).參考點與ri處大小為ai的氣泡i的相對距離為rij=|rj?ri|.在參考點處的聲壓可以獲得如下方程

式中pi,in為氣泡i受到的激勵聲壓,pex(rj)=εp0ejkzj為背景聲場.對含有N個氣泡的氣泡水而言,pi,in為2N個隨機變量ri和ai的函數.對參考點氣泡,在(7)式兩邊同時求取條件期望,可得

其中〈P〉j表示氣泡j的條件期望,是在參考氣泡空間位置和氣泡大小一定時,其余N?1個氣泡的空間位置和大小的條件概率密度,其可以進一步寫作氣泡j一定時氣泡k的條件概率密度與氣泡j,k一定時其余N?2個氣泡的條件概率密度的乘積f(?N?1|rj,aj)=f(?N?2|rk,ak,rj,aj)f(rk,ak|rj,aj). 將其代入(8)式,并假設含氣泡水在空間上是統計均質的(簡稱均質),各個氣泡的統計特征無明顯差異,在此基礎上(8)式化簡為

其中〈pk,in〉jk表示對氣泡j,k取條件期望.對(9)式進行求解,首先給出隨機變量的條件概率密度函數.相對參考點rj,大小為ak的氣泡k位于drk的概率為[22,23]

其中g([rk;ak],[rj;aj])表示氣泡k和j在空間上的相互影響,對均質氣泡群時,g([rk;ak],[rj;aj])=g(|rk?rj|),空間影響退化為徑向函數且與具體位置無關,稱作徑向關聯函數(pair-correlation function,PCF),(10)式中氣泡間的相互影響僅通過PCF表示;m(rk)為氣泡群的氣泡數量密度函數,在均質時退化為常數m0;n(ak)是氣泡孔徑的概率密度函數(這里將m0和n(ak)這兩個函數區分開表示,更方便表述含氣泡水的空間特性).因此,(9)式簡化為

此時,在(11)式中引入QCA[26],〈P〉jk=〈P〉j,再進一步考慮氣泡與含氣泡水中的平均量相互作用[7?10],將〈pj,in〉j=Pexp(iκzj)代入(11)式,并去掉角標k以做化簡,(11)式變換為

2.3 叢聚時含氣泡水對聲傳播的影響

對叢聚的含氣泡水,引入NSP對這一現象進行描述[23].采用這一方法,避免了由于氣泡間的復雜受力[28]導致的含氣泡水空間結構研究上的困難[29],直接給出了不同情況下含氣泡水的統計特征,用統計特征建立起了含氣泡水中聲傳播與空間分布的聯系,在簡化問題的基礎上給出了更具一般性的結論.氣泡數量密度為m的含氣泡水中分布著iNSP個小范圍的叢聚子氣泡群,我們假設這些叢聚的成因無明顯差異并在短時間內無明顯變化,統計上認為這些叢聚子氣泡群內空間分布相同,并在空間上整體服從Poisson分布,各自的數量密度為m0.對任意的從聚子氣泡群而言,其內部仍服從Poisson分布,在空間上的一次實現中含有Nc(iNSP)個氣泡.將NSP的一次實現寫作

其中叢聚子氣泡群nc=〈Nc〉,m0=〈iNSP〉, 且m=m0nc.本文直接給出其空間分布特征如下(數學證明可參考文獻[23]),考慮到引入了QCA,因此只需要考慮二階統計量,PCF為

這里

其中,R為氣泡聚集范圍的半徑.將(15)式代入(13)式中,就得到了叢聚的含氣泡水內的等效波數

3 數值模擬

3.1 相速度和聲衰減的變化分析

在(16)式中,含氣泡水中氣泡空間分布的相關參數被引入到了等效波數中,在本文的數值模擬中,我們始終保持含氣泡水的體積分數為5×10?4.選取邊長為2.6×10?3m的觀測窗,在此基礎上改變nc,觀察氣泡空間分布對含氣泡水的影響,其一次實現的x-y面側視圖如圖2所示,其中,含氣泡水空間分布的仿真方法在3.2節中說明.含氣泡水的氣泡的尺寸分布服從log-normal分布,其孔徑的概率密度函數為

其中設氣泡的孔徑分布函數中aμ=8μm,σa=0.4,叢聚半徑為20aμ.此時,注意到含氣泡水小范圍內的孔隙率已遠大于5×10?4,那么氣泡間的相互作用會對聲傳播產生影響,為解決這一因素的影響,進一步通過修正(5)式,考慮與背景聲場的相互作用下的單個氣泡的聲散射能力[15]

由圖2可以看出,當nc較小時,直觀上較難區分出含氣泡水是否產生了叢聚現象,因此,在現有的實驗研究中,其氣泡群是否存在叢聚,是無法從直觀上判斷的[19?21];隨著nc增長,叢聚現象逐漸明顯.nc=30時,從一次實現上直觀觀測的結果而言,其更類似于空化產生的氣泡群形成的空間球狀結構,如文獻[30]中圖2.13中的測量結果所示.此外,觀察文獻[31]中圖117的空化結構,如果空間網狀結構中的細絲不明顯存在,圖2(d)也可嘗試用于描述網狀空化氣泡群的空間結構.因此,本文的理論研究也適用于空化氣泡群結構特征的研究.在此基礎上,分析叢聚含氣泡水對聲速變化及聲衰減的影響,如圖3所示.

可見,叢聚現象對含氣泡水內聲傳播的影響,主要集中在聲衰減及相速度的峰值附近,對比無叢聚含氣泡水可知(氣泡體積分數較小且無叢聚時,本文的理論模型退化為Commander和Prosperetti[5]的結論),即使在nc=1時,其也對含氣泡水的聲衰減有明顯抑制作用,通過對比實驗結果,由圖3可以看出,(16)式可以從空間信息上對現有實驗結論中的偏差進行解釋,即相速度和衰減系數的峰值往往低于理論預測值且存在低頻偏移是由于空間不均勻導致的.此外,隨nc增加,聲衰減及相速度在峰值附近受到的抑制逐漸加劇,隨頻率遠離峰值段,叢聚現象對含氣泡水中聲傳播的影響逐漸變弱.

圖2 不同氣泡數量密度下叢聚含氣泡水的一次實現的側視圖 (a)無叢聚;(b)nc=1;(c)nc=3;(d)nc=30Fig.2.Realization of clustered bubbly water with different sub-bubble number density:(a)No cluster;(b)nc=1;(b)nc=3;(b)nc=30.

圖3 不同叢聚半徑下聲衰減及相速度隨頻率的變化關系 (a)聲衰減;(b)相速度Fig.3.Attenuation and phase speed versus frequency with different radius of clusters:(a)Attenuation;(b)phase speed.

3.2 數值建模方法及統計分析

基于前文的結論,能否在實驗中對空間信息進行有效提取,對含氣泡水內聲衰減及相速度的理論預測與測量結論是否擬合起到決定性作用.考慮到現有含氣泡水實驗研究缺乏相應的統計手段,本文引入了一種比例無偏估計以對后續實驗研究進行指導.事實上,比例無偏估計既可以對(16)式中的叢聚參數測量[32],也可以對統計量自身進行直接測量[21],本節引入后一種方法,因為其更具有普遍性,在此基礎上,對統計結論與理論預測的誤差進行觀察.

考慮到統計全部含氣泡水內各個氣泡的空間位置是不現實的,我們在仿真環境中也只采取其樣本(后文統一稱為觀測窗W)進行分析.在仿真環境中,為保證考慮到W外的叢聚氣泡群對W的影響,首先在擴展觀測窗W⊕b(0,R)中建立叢聚子氣泡群,一次實現的叢聚個數服從Poisson分布;其次,建立各個叢聚子氣泡群中的氣泡,每個子氣泡群的氣泡總數服從期望為nc的Poisson分布;最后按log-normal分布產生各個氣泡的半徑,就可以獲得含氣泡水的樣本空間W,如圖2所示,選取邊長2.6 mm的正方形觀測窗,以保證觀測窗內樣本氣泡充足(期望值約為2000個).

為在仿真環境中建立圖2所示含氣泡水對聲傳播的影響,須對其空間信息進行提取.根據(16)式的需求,首先對其氣泡數量密度進行估計,其標準估計為

其中N(W)是觀測窗內含氣泡總數,V(W)為觀測窗體積.該標準估計是無偏的.在此基礎上,對含氣泡水的PCF進行統計分析,本文不加證明地引入比例無偏的PCF估計方法(具體證明過程可參考文獻[21]):

該方法通過對氣泡數量密度估計進行修正保證了統計的比率無偏性(?mre只用于估計?g(r)).其中

最小,將核函數表示為

其中h為經驗參數,為保證估計結果平滑且有效信息捕捉準確,本文選取h=10?5.此外,將修正的氣泡數量密度寫作

其中V2(W∩?b(ri,r))表示中心位于ri半徑為r的球體在觀測窗內的表面積.根據(18)式及(19)式對圖2(c)進行估計,可得其PCF如圖4所示.

圖4中紅色誤差棒為PCF理論值±1 MSE,將統計結果代入(13)式得到叢聚含氣泡水中聲速及聲衰減隨頻率的變化,如圖5所示.

圖4 PCF統計結果及誤差分析Fig.4.Estimated value of PCF and error analysis.

圖5 聲衰減及相速度隨頻率變化的數值結果及誤差分析(a)聲衰減;(b)相速度Fig.5.Numerical results of attenuation and phase speed versus frequency comparing with theoretical value:(a)Attenuation;(b)phase speed.

以理論值求得的κ2{nc,R}做對比分析,可見當叢聚產生時,忽略空間信息會導致對聲衰減及相速度的預測出現較大誤差,而考慮空間信息時預測值與理論值符合良好.如果要進一步縮小考慮空間信息時仍存在的微小誤差,可以通過適當擴大樣本,或對觀測窗進行多次采樣、估計取平均值來達到目的.

4 結 論

含氣泡水的空間結構是復雜的,自然現象產生的含氣泡水中的氣泡很難保證均勻分布.在實驗室環境下,含氣泡介質內氣泡間也常存在小范圍的聚集趨勢,而現有描述水下氣泡群對聲傳播影響的理論往往基于空間均勻分布假設.因此,當含氣泡水存在聚集時,現有理論描述聲波在含氣泡水中的傳播時存在較大誤差.為分析非均勻分布的含氣泡液體對聲波線性傳播的影響,我們將QCA引入自洽方法中,推導出了考慮空間分布時多分散介質中的等效聲波波數,在此基礎上引入NSP描述了含氣泡水內氣泡的叢聚現象.分析發現,即使直觀上無法觀測到的叢聚現象,也會對含氣泡水內聲傳播產生較大干擾,因此含氣泡水的空間信息不可忽視.

通過本文給出的數值仿真方法,可觀測到叢聚的含氣泡水對聲衰減及相速度的準確預測影響較大,忽略空間信息會過高估計聲衰減及相速度的峰值,因此,在進行相應的實驗研究中必須對空間信息進行有效提取,而本文的建模及比例無偏估計方法可作為相關實驗工作的理論基礎.