Λ型三能級原子與兩個諧振器的量子相位門?

劉超 鄔云文

(吉首大學物理與機電工程學院,吉首 416000)(2018年4月26日收到;2018年5月28日收到修改稿)

1 引 言

隨著人類社會的發展,人們對信息的處理和傳播提出了更高的要求,而傳統的計算機終將不能滿足需要,量子計算[1]和量子信息處理[2]能夠通過量子力學的基本原理解決經典計算機難以甚至無法解決的算法問題,近年來引起了廣泛關注.量子相位門是實現量子編碼和量子計算所必備的量子組件,具有幺正性和可逆性的特點[3].

人們對量子相位門系統進行了廣泛的研究,相繼提出了各種理論方案[4?6],其中由微波諧振器和超導量子位組成的系統特別具有吸引力[7,8].超導量子比特(如磁通量子比特)具有相對長的去相干時間[9],可以使用電磁脈沖來改變Josephson(無耗散非線性電感器件)上的磁通量、電荷或相位差來控制其量子態[10],并且具有狀態讀出的各種單量子和多量子位操作能力[11,12].另一方面,遠距離的量子位之間的相互作用耦合難以實現,而超導諧振器可以提供用作量子總線的量化腔場,實現量子總線在量子位之間分配量子信息[13?15].此外,微波腔和超導電荷量子位[16]或磁通量子位[17]之間的強耦合早在理論上就被推測并且已經被實驗證明[18,19].

文獻[20]提出了一種使用復雜的經典微波脈沖來控制兩個超導諧振器的量子態方法,該方案需要提前準備兩個初始態為Bell態的超導量子位,另外為了獲得純光子的任意量子狀態,還需額外的技術將量子位與諧振器去耦合.而本文提出的由兩個諧振器通過電容與一個Λ型三能級原子相耦合的方案,實驗裝置得到簡化,這對減小器件之間的相干性很重要,另外,原則上我們的方案對于經典脈沖的強度沒有限制,可以更快地進行操作.總體而言,我們的方案更加簡單,能夠有效提高相位門的保真度.

2 模型介紹

考慮由兩個高質量超導諧振器和一個Λ型三能級原子耦合的量子系統,如圖1所示.

圖1 (a)量子相位門系統結構圖;(b)Λ型三能級原子能級結構圖Fig.1.(a)Quantum phase gate system structure diagram;(b)Λ-type three-level atom energy level structure diagram.

在這個模型中,量子相位門系統由兩個高質量超導諧振器(ra和rb)通過電容與一個Λ型三能級原子c相耦合.通過調整諧振器頻率,可以使諧振器與Λ型三能級原子c不同能級的相互作用,也可以通過改變施加到Λ型三能級原子c上的超導量子干涉儀(SQUID)的磁通量,來調整Λ型三能級原子

圖1 (a)量子相位門系統結構圖;(b)Λ型三能級原子能級結構圖Fig.1.(a)Quantum phase gate system structure diagram;(b)Λ-type three-level atom energy level structure diagram.

在這個模型中,量子相位門系統由兩個高質量超導諧振器(ra和rb)通過電容與一個Λ型三能級原子c相耦合.通過調整諧振器頻率,可以使諧振器與Λ型三能級原子c不同能級的相互作用,也可以通過改變施加到Λ型三能級原子c上的超導量子干涉儀(SQUID)的磁通量,來調整Λ型三能級原子c能級間隔[21,22],使Λ型三能級原子c能級與不同諧振器的相互作用.圖1(b)是Λ型三能級原子c的能級結構圖,該Λ型三能級原子由基態|g〉c,第一激發態|e〉c和第二激發態|f〉c組成,是諧振器ra與Λ型三能級原子c的耦合強度,是諧振器rb與Λ型三能級原子c的耦合強度.在旋波近似下(?=1),系統哈密頓量為

假設系統的一般初始狀態為

其 中|0〉a,|0〉b分 別 表 示 諧 振 器ra,rb的 量 子態;|g〉c表示Λ型三態粒子c的量子態;α1=cosθ1cosθ2,α2=cosθ1sinθ2,α3=sinθ1cosθ2,α4=sinθ1sinθ2. 這樣無論θ1和θ2取任何值,都能保證系統的歸一化.本文將兩個歸一化角度直接取為θ1=π/3,θ2=π/6,來對實現量子相位門可行性進行探討.

3 量子相位門的實現

量子相位門的實現主要涉及諧振器ra與rb的開關和時間上的控制[23],以及調節SQUID的磁通量大小,使Λ型三能級原子c的某個確定躍遷能級與打開的諧振器躍遷能級相等,使其能級之間產生相互作用.兩個量子相位門的實現詳細描述如下.

3.1 Controlled-Z量子相位門

實現Controlled-Z量子相位門的步驟如下:

第一步,關閉諧振器rb,通過調整諧振器ra開關時間控制為使三能級原子在能級|g〉c和|e〉c之間轉換,系統狀態將演變成

第二步,關閉諧振器ra,通過調整諧振器rb開關時間控制為使三能級原子在能級之間轉換,系統狀態將演變成

第三步,關閉諧振器rb,通過調整諧振器ra開關時間控制為使三能級原子在能級|g〉c和|e〉c之間轉換,系統狀態將演變成

表1 實現Controlled-Z門的四種方法Table 1.Four ways to implement a Controlled-Z gate.

這只是我們所構建的Controlled-Z門操作的一種結果,同樣,我們還有表1中的另外三種操作方法可以構成Controlled-Z門,而這三種方法對器件的調整,除開關時間外,都與Controlled-Z門方法的步驟相同.

3.2 Swap量子相位門

實現Swap量子相位門的步驟如下:

第一步,關閉諧振器rb,通過調整諧振器ra開關時間控制為使三能級原子在能級之間轉換,系統狀態將演變成

第二步,關閉諧振器ra,通過調整諧振器rb開關時間控制為和ωb=ωg,e,使三能級原子在能級|g〉c和|e〉c之間轉換,系統狀態將演變成

第三步,關閉諧振器ra,通過調整諧振器rb開關時間控制為和ωb=ωe,f,使三能級原子在能級|e〉c和|f〉c之間轉換,系統狀態將演變成

第四步,關閉諧振器rb,通過調整諧振器ra開關時間控制為和使三能級原子在能級|g〉c和|e〉c之間轉換,系統狀態將演變成

這只是我們所構建的Swap門操作的一種結果,同樣,我們還有表2中的另外一種操作方法可以構成Swap門,而第二種方法對器件的調整,除開關時間外,都與上述Swap門方法的步驟相同.

表2 實現Swap門的兩種方法Table 2.Two ways to implement a Swap gate.

4 保真度

系統保真度對研究系統的可行性而言是一個非常重要的參量,為了展示我們所構建的兩個量子相位門的可行性,我們利用可行的經驗參數和數值模擬的方法,來對其中Controlled-Z門中的第一種方法進行保真度的計算和運行時間的確定.由這兩個諧振器和Λ型三能級原子c組成的系統隨時間演變可以由如下Lindblad主方程描述[24,25]:

在這個Lindblad主方程中,L[Λ]=(2ΛρΛ+?Λ+Λρ ? ρΛ+Λ)/2,其中σee=|e〉c〈e|;σff=|f〉c〈f|. 方程第一項引用(1)式,?i[H,ρ]是密度算符ρ所遵循的基本運動方程項;κa,κb分別是諧振器ra和rb的衰減率;rg,e,rf,e分別是關于Λ型三能級原子c能級變化的弛豫速率;r?,e和r?,f分別是Λ型三能級原子c能級|e〉和|f〉的移相比率.主方程后面的幾項組成了這個系統的衰減項.

對于三能級原子,調節范圍在0.1—1.0 GHz之間的電荷耦合強度已在實驗中實現[26,27].這里通過調整SQUID的磁通量來改變Λ型三能級原子c的能級差,使在第一步和第三步中ωa=ωg,e,達到諧振器ra與指定能級間|g〉c?|e〉c相互作用的目的,第二步中ωb=ωf,e,達到諧振器rb與能級|f〉c?|e〉c相互作用的目的.

通過對密度算符ρ所遵循的運動方程的計算,將量子相位門的保真度定義為如下方程:

這里[1/(2π)]2為歸一化系數;|ψid〉是在不考慮任何衰減的情況下,從初始態|ψ0〉到最終實現量子相位門的理想態,對于我們所討論的Controlled-Z門而言,即是(5)式的|ψ3〉;ρf是在含衰減的情況下,通過Controlled-Z門三個步驟的實際運行操作后得到整個系統的最終密度算子.對Controlled-Z門方法一的仿真表明,通過總時間為20.83 ns的運行操作,其保真度為96.67%,達到了實際可應用的水平.

不同參數對量子相位門保真度的影響如圖2所示,改變衰減率κ,弛豫速率r,移相比率r?或耦合強度g其中一個參數,其他參數固定為前文所使用的數值模擬參數.由于圖2(a)—(c)的橫坐標都為x?1,所以隨著衰減率、弛豫速率和移相比率的增加,保真度隨之降低,呈負相關性,但影響程度明顯不一樣;圖2(d)中,隨著耦合強度g的增加,保真度也隨之增加,這是由于增大的耦合強度會使作用時間縮短,從而減小衰減項的作用時間,使得保真度增加.

圖2 四個參數對實現方法一Controlled-Z門保真度的影響Fig.2.In fluence of four parameters on the fidelity of a controlled-Z gate:

5 結 論

通過構建由兩個超導諧振器和一個Λ型三能級原子組成的量子相位門系統,提出了用以實現Controlled-Z門和Swap門的簡單操作方案,并利用數值模擬參數對實現Controlled-Z門的第一種方案進行了仿真,探討了各參數對其保真度的影響.結果表明該方案是可行的.系統三個衰減參數衰減率κ、弛豫速率r、移相比率r?的增大會減小保真度,而耦合強度g的增大會縮短相位門的運行時間,從而減小衰減參數的作用時間,使得保真度增加.我們希望在今后的研究中能夠找到更加有效簡單的操作方法,同時也期待提出的方案能夠激勵這方面的實驗研究,使更多的研究人員致力于量子相位門系統的研究.