一類帶Hardy-Sobolev臨界指數的奇異Kirchhoff型方程正解的存在性

陳 明,張 鵬,廖家鋒

(1.遵義師范學院數學學院,貴州遵義 563006)

(2.西華師范大學數學與信息學院,四川南充 637002)

1 引言

考慮如下帶Hardy-Sobolev臨界指數的Kirchhoff型方程

其中??R3是一個有界開區域且具有光滑邊界??,0∈?,a,b≥0且a+b＞0,λ＞0,0＜γ＜1,0≤s＜1,6?2s是Hardy-Sobolev臨界指數.

2013年,劉星和孫義靜老師研究了如下問題其中3＜p＜5?2s,0＜γ＜1,a,b,λ＞0,f,g∈C()是非平凡非負函數.當λ＞0充分小時,結合變分方法和Nehari方法獲得問題(1.2)的兩個正解,詳見文獻[1].2015年,雷春雨等在文獻[2,3]中分別當s=0,p=5和s=0,p=3時研究了問題(1.2),并獲得了兩個正解的存在性.當s=0,0＜p＜3時,我們研究了問題(1.2),并獲得了一個正的基態解,詳見文獻[4].隨后,劉芮琪等在文獻[5]將文獻[4]的結果推廣至高維空間.與此同時劉芮琪等將文獻[2]研究的問題推廣至四維空間,并獲得了正解存在性和多解性的結果,具體可參見文獻[6].

在前期的研究基礎上,本文將研究問題(1.1)正解的存在性.定義問題(1.1)對應的能量泛函I為

其中

記As為Hardy-Sobolev常數

2 主要結論以及證明

首先,給出如下一個重要的引理.

引理2.1假設a,b≥0且a+b＞0,0＜γ＜1,0≤s＜1,則存在λ?＞0使得對任意的0＜λ＜λ?,泛函I在空間上都能達到一個負的局部極小值.

證 由H?older不等式和(1.4)式,可推得如下不等式成立

從而根據(2.1)式和(2.2)式,可得

當a＞0時,令

使得

因此,取R1=tmax以及依據(2.3)式,則存在ρ＞0使得對任意的0＜λ＜λ′都有

則

容易得到

使得

因此,取R2=以及依據(2.3)式,則存在ρ＞0使得對任意的 0＜ λ ＜ λ′′都有

因此,對任意的a,b≥0且a+b＞0,綜合(2.4)式和(2.5)式,則存在λ?＞0和R,ρ＞0使得對任意的λ∈(0,λ?)使得

進一步,由(2.7)式可推得

由(2.7)式,同時也可推得

再根據文獻[8],可得

若uλ=0,可得wn=un,這就意味著wn∈BR.若uλ≠0,由(2.9)式,可得當n充分大時有wn∈BR.從而,由(2.6)式,可推得

故由 (2.8)–(2.12)式,有

這就意味著I(uλ)=m＜0且uλ/≡0,即uλ能量泛函I的一個非零非負局部極小值點.引理2.1證畢.

下面給出本文的主要結果及其證明.

定理2.1 假設a,b≥0且a+b＞0,0＜γ＜1,0≤s＜1,則對一切的0＜λ＜λ?(λ?為引理2.1中所定義)問題(1.1)都存在一個正局部極小解.

證 根據引理2.1,可知在?上uλ≥ 0且uλ/≡ 0.只需證明uλ是問題(1.1)的解.令由于則存在ξ＞0當|t|＜ξ時使得因為u?是泛函I在的局部極小值點,從而可推得

根據Lebesgue控制收斂定理,可得

對任意的x∈?,令

由s→s1?γ是一個凸函數,則對任意的x∈?,函數η是非增的.故當t→0+時η是逐點收斂到(x)φ(x).從而根據Beppo-Levi定理,可得

這就意味著uλ＞0在?幾乎處處成立.

類似于文獻[4]中定理1的證明,同樣可從(2.16)式可以推得有