一類Helmholtz方程解的存在性和唯一性

管 毅, 楊 媛, 趙遠英

(貴陽學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 貴州 貴陽 550005)

1 引言及預(yù)備知識

在聲波的散射問題中,裂縫散射較為常見.許多專家學(xué)者深入研究了裂縫散射問題[1-5].近年來,一些學(xué)者轉(zhuǎn)向帶裂縫的較為復(fù)雜的散射體的散射問題,Kirsch等[6]利用積分算子的方法研究了帶Neumann邊界條件的裂縫散射問題;Kress等[7]將裂縫散射問題推廣到第三類邊界條件;Cakoni等[8]考慮了一條裂縫具有不同邊界條件的散射問題.

Krutitskii[9]利用積分算子的理論研究了平面上一條裂縫散射問題,Yan[10]考慮了平面內(nèi)由兩部分組成的一條光滑裂縫散射問題,其中散射波在裂縫的2個不同部分具有不同的邊界條件.Yan[10]利用位勢理論和邊界積分方程中的積分算子性質(zhì),通過Fredholm定理,得到該問題解的存在性和唯一性.Guo等[11]研究了裂縫散射問題解的性態(tài)以及相應(yīng)的數(shù)值解法,李妮等[12]研究了不可穿透物體外帶一條可穿透裂縫的散射問題,其中散射波在不可穿透障礙物邊界上滿足第一類邊界條件,在裂縫兩邊分別滿足第一、第三類邊界條件.

本文主要考慮的也是一個不可穿透障礙物外加一條裂縫所組成的散射體散射問題.不同于前面的研究,本文涉及的不可穿透障礙物由兩部分組成,分別滿足不同的邊界條件,通過位勢理論和積分算子知識,得出此類邊值問題的解的存在性和唯一性.

2 邊界積分方程組

考慮平面上一個不可穿透障礙物外加一條可穿透裂縫的散射問題.障礙物邊界由兩部分組成,?D=S1∪S2,兩部分邊界上滿足不同的邊界條件.假設(shè)障礙物D外的裂縫Γ是平面某光滑閉曲線?Ω的一部分,這樣Γ上的外法線方向n與?Ω上的外法線方向一致.

U-=0,x∈Γ,

U=0,x∈S1,

(1)

其中,U是總場,U=ui+us,ui=eiks·d,d為入射方向,且要求散射波us滿足Sommerfeld輻射條件.

如果只考慮散射場,則只考慮如下方程

U-=p(x),x∈Γ,

U=f(x),x∈S1,

(2)

給定

(3)

定理2.1方程(2)和(3)至多有一個解.

在區(qū)域BR和Ω上分別用格林公式,利用相應(yīng)的邊界條件有

(4)

在區(qū)域Ω內(nèi)有

(5)

故有

從而有

引理2.1如果u是方程(2)和(3)的解,則有

證明參見文獻[13].

下面通過格林公式尋找方程的解.

故原方程的解可表示為

(6)

考慮邊界?D=S1∪S2的情形.

從而有

(7)

將上式限制在邊界S1上,根據(jù)已知條件有

其中算子S、K、K′和T均為相應(yīng)的邊界積分算子,定義如下：

故有

算子SDS1表示在前面定義的算子S中,密度函數(shù)定義取值在邊界?D上,然后將最后的積分值限定在邊界S1上.應(yīng)用格林公式和輻射條件,有如下結(jié)論(見文獻[14]).

引理2.2

x∈?D, y∈?Ω,

f(x)=SS1S1γ1+SS2S1g-KS1S1f-KS2S1γ2+

SΓS1α-KΓS1β,

故有

SS1S1γ1-KS2S1γ2+SΓS1α-

(8)

其中

從上分析知

(9)

將x限定在邊界S1上有

故有

(10)

其中

再看邊界Γ上的情形.

(11)

(12)

(13)

以及

(14)

將自變量限定在邊界Γ上有

即有

u-|Γ=SS1Γγ1+SS2Γg-KS1Γf-KS2Γγ2+

故

u+|Γ=[u]|Γ-u-|Γ,

故有

u-|Γ=SS1Γγ1+SS2Γg-KS1Γf-KS2Γγ2+

SΓΓα-KΓΓβ+[u]|Γ-u-|Γ,

整理得

SS1Γγ1-KS2Γγ2+SΓΓα-

(15)

其中

從而有

故有

(16)

其中

聯(lián)合(8)、(10)、(15)和(16)式,有如下方程組

Aξ=η,

(17)

其中

向量η為

算子A為

3 解的存在性和唯一性

顯然,若從上述方程組中求解出未知量ξ,則原方程就有解存在.利用Fredholm定理,有如下結(jié)論.

定理3.1積分方程組(17)解存在且唯一.

證明下面分兩步證明該結(jié)論.

第一步,證明算子A是具有零指標的Fredholm算子;第二步,證明算子A是單射.

現(xiàn)在證明第一步：由參考文獻[14]知,對于算子S和T,分別存在緊算子Cs和CT,其中

分別滿足：

而

對于

ξ=(γ1,γ2,α,β)T,

H

其對偶空間H*改寫(17)式為

其中

且

(18)

其中()表示相應(yīng)的邊界上的L2內(nèi)積.

Re(-(KS2S1γ2,γ1)+(γ1,KS2S1γ2))=

(19)

同理

Re((β,α)-(α,β))=

從而有

故可以說明算子A是具有零指標的Fredholm算子.

下面證明第二步,說明A是單射.

設(shè)ξ=(γ1,γ2,α,β)T滿足齊次方程Aξ=0,即等價于如下方程組

下面證明ξ=(γ1,γ2,α,β)T=0.定義位勢函數(shù)

SΓS1β-KΓS1β),

根據(jù)(20)式的第1個方程有

v(x)|S1=0.

根據(jù)(20)式的第2個方程有

SΓΓα-KΓΓβ+β),

根據(jù)(20)式的第3個方程有

v(x)|Γ=0.

4) 當x∈R2Ω,x→Γ時有

根據(jù)(20)式的第4個方程有

綜上所述,v(x)滿足如下邊值問題

(21)

和輻射條件方程

(22)

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