擬從屬關系定義的雙單葉解析函數類

馬 爍, 王安平

( 1. 荊州理工職業學院 基礎課部, 湖北 荊州 434032; 2. 武漢商學院 信息工程學院, 湖北 武漢 430056; 3. 長江大學 工程技術學院, 湖北 荊州 434020)

用A表示單位圓盤U={z∈C:|z|<1}內解析且具有如下展開式的函數族

(1)

其中

(2)

函數f(z)∈S稱為U內的雙單葉函數當且僅當f(z)和f-1(z)均為U的單葉函數,現記Σ表示U中具有(1)式的雙單葉函數族.α階星形函數類S*(α)和α階凸函數類K(α)定義為

0≤α<1},

z∈U,0≤α<1}.

從上述表達式可以看出

f(z)∈K(α)?zf′(z)∈S*(α).

設f(z)和φ(z)在U內解析,稱f(z)從屬于φ(z),記作f(z)φ(z),若存在U內的Schwarz函數ω滿足ω(0)=0,|ω(z)|<1,使得

f(z)=φ(ω(z)).

進一步,稱f(z)擬從屬于[1]φ(z),記為

f(z)qφ(z).

f(z)qφ(z)?f(z)=φ(z)φ(ω(z)),

其中ω(z)為Schwarz函數且|φ(z)|≤1.特別地,當φ(z)≡1時,從屬與擬從屬的定義完全一致.上述φ(z)在U內解析且具有正實部.為了敘述方便,本文假設

φ(z)=A0+A1z+A2z2+…, |φ(z)|≤1, (3)

φ(z)=1+B1z+B2z2+…,B1>0.

(4)

設f(z)由(1)式給出,k(z)由下式給出

f(z)與k(z)的卷積f*k定義為

定義1若f(z)∈Σ由(1)式給出,且滿足擬從屬關系：

定義2若f(z)∈Σ由(1)式給出,且滿足擬從屬關系：

定義3若f(z)∈Σ由(1)式給出,且滿足擬從屬關系：

其中,g=f-1由(2)式定義,φ由(3)式定義,φ由(4)式定義,則稱

1 主要結論

為了得到本文的結論,需要用到下面引理.

引理1[21]若h∈A,且滿足h(0)=1,在U內具有正實部,則|ck|≤2,k=1,2,…,這里

h(z)=1+c1z+c2z2+…,z∈U.

引理2[22]若h∈A,且滿足h(0)=1,在U內具有正實部,且

h(z)=1+c1z+c2z2+…,z∈U,

則

φ(z)[φ(u(z))-1],

(5)

φ(w)[φ(v(w))-1],

(6)

其中g=f-1.現在定義函數p(z)、q(w)如下:

這等價于

容易看出,p(z)、q(w)在U內解析,且滿足p(0)=q(0)=1,在U內具有正實部.因此由引理1,得|ci|≤2,|di|≤2.由(3)、(4)、(7)、(8)式得

(9)

(10)

將f、g、k的解析式代入得

(1+λ)a2b2z+(1+2λ)a3b3z2+…,

(11)

-(1+λ)a2b2w+

(12)

由(7)～(12)式,并比較兩邊的系數得:

(13)

(14)

(15)

(16)

由(13)和(15)式得:

c1=-d1,

(17)

(18)

(14)和(16)式兩邊相加,并利用(17)式得

(19)

利用|ci|≤2,|di|≤2,i=1,2,并結合(13)與(19)式得

下面得出|a3|的估計.用(14)式減去(16)式得

利用(18)式并結合|ci|≤2,|di|≤2,i=1,2,得

(20)

利用(19)式并結合|ci|≤2,|di|≤2,i=1,2,得

結合(21)式和(22)式即可得

推論2若由(1)式定義的函數f(z)∈BΣ(n,λ,φ),那么

注意到以下事實,經過簡單的推導可知

對比文獻[8]的結論,可以發現本文的推論2比文獻[8]的估計結論更為精確,同時也比文獻[9,11]精確.

|a2|≤min{J,K,L},

|a3|≤min{M,N,P},

其中

其中,g=f-1,定義的函數p(z)、q(w)同定理1.對(22)和(23)式左邊進行展開,并將f、g、k的解析式代入得

結合(9)、(10)式,并比較(22)、(23)式兩邊的系數得:

(24)

(25)

(26)

(27)

由(24)和(26)式得:

c1=-d1,

(28)

(29)

4a2b2=A0B1(c1-d1).

(30)

(25)和(27)式兩邊相加,并利用(28)和(30)式得

(31)

(25)和(27)式兩邊相加,并利用(24)和(28)式得

(32)

(25)和(27)式兩邊相加,并利用(24)和(29)式得

(33)

利用(31)～(33)式,結合引理1,即可得到|a2|的估計值.

下面得出|a3|的估計.用(25)式減去(27)式得

(34)

將(32)式代入(34)式得

(35)

利用(25)式減去(27)式,并利用(31)式得

(36)

或者將(36)式整理得

4b3a3=

(37)

結合(35)～(37)式和引理2即可得到定理的結論.因此定理得證.

在定理2中,令b2=1,b3=1,很容易得到推論3.

|a2|≤min{J1,K1,L1},

|a3|≤min{M1,N1,P1},

其中

注意到,推論3中系數|a2|的系數中有一項為|a2|≤L1,這剛好是文獻[23]的結論,因此推論3中的結論比文獻[23]更精確的估計了|a2|的上界.

推論4若由(1)式定義的函數f(z)∈S*(Σ,φ),則:

|a2|≤min{J2,K2,L2},

|a3|≤min{M2,N2,P2},

其中

N2=B1+|B2-B1|,

|a3|≤

u(0)=v(0)=0,

|u(z)|<1, |v(w)|<1,

且使得:

(38)

(39)

其中g=f-1,定義的函數p(z)、q(w)同定理1.對(38)和(39)式左邊進行展開,并將f、g、k的解析式代入得

結合(9)、(10)式,并比較(38)、(39)式兩邊的系數得:

(40)

(41)

(42)

由(40)和(42)式得:

c1=-d1,

(44)

(45)

8a2b2=A0B1(c1-d1).

(46)

(41)和(43)式兩邊相加,并利用(46)式得

(47)

利用(46)、(47)式,結合引理1,即可得到|a2|的估計值.

下面得出|a3|的估計.用(41)式減去(43)式,并利用(44)式得

(48)

將(47)式代入(48)式得

4A0B1c2+2A1B1(c1-d1).

(49)

將(45)或(46)式代入(48)式得

(50)

結合(49)、(50)式和引理1即可得到定理的結論.因此定理得證.

推論5若由(1)式定義的函數f(z)∈Kq(Σ,φ),則

|a3|≤

注意到,推論5中系數|a3|中有一項估計為

這剛好是文獻[23]的結論,因此推論5的結論比文獻[23]更精確了.

在推論5中,令φ(z)=1,即令A0=1,A1=0,得下面推論.

推論6若由(1)式定義的函數f(z)∈K(Σ,φ),則

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