有界完全Reinhardt域上的星形映照

王朝君， 崔艷艷

(周口師范學院 數學與統計學院, 河南 周口 466001)

1 預備知識

單復變函數論中一些基本結論在多復變中的不成立使得人們開始討論具有特殊幾何性質的雙全純映照，例如星形映照與凸映照[1]以及它們的子族.在單復變中要找到具體的星形映照與凸映照及其子族相對容易，而在多復變數空間中卻比較困難.1995年Roper-Suffridge算子[2]的引入使得我們可以由復平面上具有某些特殊幾何性質的單葉全純函數構造出多復變數空間中相應的雙全純映照，于是許多學者結合Roper-Suffridge算子討論了星形映照與凸映照的子族或擴充，證明了推廣的Roper-Suffridge延拓算子在不同空間不同區域上保持各類雙全純映照子族的性質[3-8].之前的結論總是討論各類雙全純映照子族在Roper-Suffridge延拓算子下的幾何不變性，而本文卻是應用Roper-Suffridge延拓算子通過單位圓盤上全純函數的某種幾何性質討論n維復空間上相應的雙全純映照的其他的幾何性質.

2014年，Liu等[9]將Roper-Suffridge算子推廣為

其中,r=sup{|z1|:z=(z1,zn…,)∈Ω,β1∈[0,1],βk∈[0,β1],k=2,…,n}，并證明了推廣后的算子在一定條件下保持β型螺形性、α次殆星形性和α次星形性.

本文在文獻[9]的基礎上給出了一類新形式的Roper-Suffridge延拓算子，借助推廣后的Roper-Suffridge延拓算子討論了α次凸函數、近于凸函數與星形映照之間的關系，最后討論了算子的偏差.本文中用D表示單位圓盤，JF(z)表示F(z)在z點的Frechet導數.

2 主要結論及其證明

r=sup{|z1|:z=(z1,…,zn)′∈Ω}，

F(z)=((f′(z1/r))β1z1,(f′(z1/r))β2z2,…,

(f′(z1/r))βnzn)′，

若0≤βk≤β1≤1，則F(z)是Ω上的星形映照.

證明由F(z)的表達式得

則

其中

i=2,…,n.

于是由引理1.1得

(1)

若令ζ=z1/r，則ζ∈D.由(1)式及引理1.2得

故F(z)是Ω上的星形映照.

于是定理得證.

定理2.3若f是D上正規化的α次凸函數，F(z)是定理2.1中所定義的函數，則

證明由定理2.1知

(2)

即

又由于f是D上正規化的α次凸函數，則

(1+|z1|)2(α-1)≤|f′(z1)|≤

(1-|z1|)2(α-1)，

(3)

于是

則

由(2)～(4)式得結論成立.

致謝周口師范學院2018年度科研創新基金(ZKNUA201805)對本文給予了資助，謹致謝意!

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