從近幾年中考題看“字母系數”題考點

沈進華

摘要：含“字母系數”的方程與函數對學生在高中數學學習非常重要，也是近年各地中考必考察的題型。從荊州近三年“字母系數”問題題型看，主要有如下一些解答方法或考點。

關鍵詞：中考；考點；系數

例：（2015年荊州）已知關于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0

（1）求證：無論k取任何實數，方程總有實數根。

（2）當拋物線y=kx2+（2k+1）x+2的圖象與x軸兩個交點的橫坐標均為整數，且k為正整數時，若P（a，y1）、Q（1，y2）是此拋物線上的兩點，且y1>y2，請結合函數圖象確定實數a的取值范圍。

（3）已知拋物線y=kx2+（2k+1）x+2恒過定點，求出定點坐標。

解：（1）證明：①當k=0時，方程為x+2=0，所以x=﹣2，方程有實數根，

②當k≠0時，

∵△=（2k+1）2﹣4k×2=（2k﹣1）2≥0，即△≥0，

∴無論k取任何實數時，方程總有實數根；

（2）解：令y=0，則kx2+（2k+1）x+2=0，

解關于x的一元二次方程，得x1=﹣2，x2=﹣1k ，

∵二次函數的圖象與x軸兩個交點的橫坐標均為整數，且k為正整數，

∴k=1.

∴該拋物線解析式為y=x2+3x+2，

（3）依題意得kx2+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，即k（x2+2x）+x﹣y+2=0恒成立，

則，x2+2x=0x-y+2=0

解得x=0y=2或x=﹣2y=0.

所以該拋物線恒過定點（0，2）、（﹣2，0）.

考查知識點：方程的定義，根的判別式，二次函數，整數根。

1、第一小題判斷方程的實數根，這個小題由于二次項系數為參數，所以需要分成一元一次方程或者一元二次方程進行討論。

2、第二小題是探討方程的整數根，得出k的取值后，然后結合圖像進一步作答。

3、第三小題函數過定點也是常考察的地方，此類問題實際上就是“參數的無關性”，所以我們需要借助“零乘法”的意義，得出對應的x的值，最后得出定點。當然這里也有其它的解法。

綜合：本類題目的考察方法通常有如下一些地方：

1、考察方程的實數根的情況或考函數與坐標軸（x軸）交點情況。需要注意的是，如果二次項系數為參數，這個時候我們必須要進行分類討論，不能忽略一次（二次項系數為零）的情況。如果是討論函數與坐標軸的交點個數，還需要進一步的分類討論。

2、方程的整數根或者函數與x軸交點橫坐標為整數的問題一般都可以通過解方程，然后轉化成“約數問題”求出參數的值。然后借助于圖像進一步做答。

3、定點問題可以轉化為“零乘法”得出對就的x的值，再求出對應的定點。

4、給定的是x1，x2方程兩根或函數與x軸交點橫坐標類似的式子，需要借助韋達定理或考根的定義進行化簡，得出一個含有參數的方程求參數的值，特別注意，求完之后需要結合判別式進行取舍。

5、借助函數與x軸交點（y=m類直線的交點）之間的線段做底的面積問題，這類題目實際上是考察|x1-x2|的變形。

6、拋物線的平移與旋轉。

7、拋物線與直線和不等式的結合。這類問題最有效的辦法是借助助像解答。

第五類和第六類題目近幾年荊州市中考未有涉及，但是其它地方的中考中有出現。

含有第五類考點的：荊州2017模擬卷七第24題：

1、已知關于x的方程.

（1）證明：無論m取任何實數，方程總有實數根；

（2）已知拋物線恒過定點P，請求出點P的坐標；

（3）若拋物線與X軸相交于不同的兩點A，B，當1/4

含有第六類考點的：

2、已二次函數y1=x2-2x-3及一次函數y2=x+m.

（l）求該二次函數圖象的頂點坐標以及它與x軸的交點坐標；

（2）將該二次函數圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分不變，得到一個新圖象，請你在坐標系里畫出這個新圖象，并求出新圖象與直線y2=x+m有三個不同公共點時m的值：

（3）當0≤x≤2時，函數y=y1+y2+（m-2）x+3的圖象與x軸有兩個不同公共點，求m的取值范圍.

（作者單位：湖北省松滋市八寶鎮八寶初級中學434200）