“追根溯源”學數學

陳艷

摘 要：追根溯源是一種刨根究底的學習方法，是一種探索知識的精神。每一次質疑問難，每一回激趣討論，每一種研學深挖，如果能追尋本質的問題進行探索，尋求到學習內容的深刻含義和內在聯系，那么學生必定會提高分析問題和解決問題的能力，開拓思維，還能擁有創新精神。

關鍵詞：數學；根問題；分數

在長期的小數數學教學中，發現有一部分高年級的學生對于“數”這個大家族中的“分數”心中沒底，知識處于混沌之中，久而久之他們對數學產生了畏懼感，慢慢失去了信心。在幾年的反思與摸索中可以發現“分數”教學要抓住知識的“根”。

一、在認識分數中尋找“概念”之根

1.在理解意義中“認識分數”

分數的定義在教科書上是這么寫的：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數叫分數。這里的單位“1”非常抽象，孩子從小到大接觸最多的是整數，非常直觀，比如：1個蘋果、3個人、5扇窗戶等，再多點，數不清了可以說有一群鴨、一些蘋果。而分數定義中的單位“1”無限神秘，包羅萬象，一個一個的個體可以看成單位“1”，一群一群的整體也叫單位“1”，不滿一個的也可以看成是單位“1”，學生的已有認知得到了巨大的沖擊，要從根深蒂固的認知中轉過這個彎很難。所以在分數意義教學的過程中對于單位“1”的感悟一定要深刻，體會它與量詞“1”的區別。

2.在歷史背景中“感悟分數”

從數字的發展歷程來看，分數的出現晚于自然數。自然數的運用給人類的生產生活帶來的極大地便利，但在很多情況下無法恰好得到整數結果。為了解決這個問題，分數就應運而生了。在除法運算中，兩個正整數相除，得到的結果不一定是整數，為了保證除法的正常運算，引入了一種新的數——分數。早在200多年前，著名數學家歐拉在其所著的《通用算術》一書中說：我們無法將一根七米長的繩子三等分，因為目前沒有這樣的數字表示。如果需要三等分，那么每一份就是三分之七米。是一種新的數，我們稱其為分數，這便是今天分數的由來。

3.在相互比較中“理解分數”

分數它有兩個身份，一個是具體量，一個是分率。如塊餅，這里的塊就是具體的，是可看得到的，它和整數、小數在運用上幾乎無任何差別。再如太平洋約占地球表面的幾分之幾，這個代表的是太平洋和地球表面積之間的關系，此時分數代表兩個量之間的倍比關系，是抽象的。而小學數學中研究的分數更多指向的是分數代表分率的這一類。所以認識分數，還得幫助學生辨析分數的真實身份。

二、在分數計算中尋找“計算”之根

數學運算即相同計數單位間的加減，這一點同樣適用于分數運算。如何處理異分母分數加減法呢？我們就要引導學生尋找“計算”之根。例如：光明小學現有一塊長方形試驗田，其中1/2種土豆，1/4種蒜苗，那么土豆和蒜苗的種植面積占這塊地的多少呢？學生在計算1/2+1/4時出現了不同的聲音：

（1）1/2+1/4=2/8 （2）1/2+1/4=2/2 （3）1/2+1/4=1/8

學生出現錯誤的原因是不懂算理，不明白加法的本質是相同計算單位相加。此時可以借助畫圖讓學生明白異分母分數加法需要把這兩個分數轉化成分母相同的分數，分母相同才能相加。抓住計算的根之后學生人人都能正確進行異分母分數加減法，而且能把算理說明白。

三、在分數實際問題解決中尋找“問題”之根

分數實際問題的解決對于學生來說相對比較困難，不少教師教這部分內容時或多或少也存在困惑，如何使課堂教學的效率最大化？不妨從尋找根問題入手。分數實際問題無非就這么幾種：求一個數是另一個數的幾分之幾？求一個數的幾分之幾是多少？已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數？求一個數比另一個數多（少）幾分之幾？就拿分數乘法問題來說吧，分數乘法問題可以依據分數乘法的意義指導求解，而分數除法問題也是根據分數乘法的意義來列方程解決。所以掌握好分數乘法的意義是解決分數乘除法問題的前提。為此，教學中應該抓住根問題，建立新舊知識之間的聯系，促進學生所學知識的正遷移。比如：小芳做了10朵綢花，其中1/2是紅花，紅花有多少朵？在解決這個問題的時候先要理解分數1/2的意思，明確此題就是求10的1/2是多少？學生的列式可以用除法10÷2計算，此時把1/2想象成一半，也可以用10×1/2來計算。如果把題目“求10的1/2是多少？”改成“10的2倍是多少？”相信學生第一時間都會列出乘法算式，那么這個1/2和2在題目中是沒有實質差異的，唯一的差異就是一個是整數倍，另一個是分數倍。所以“求一個數的幾分之幾是多少”的根實際上就是低年級學習的“求一個數的幾倍是多少？”這樣學生原有的認知結構得到了擴展，新舊知識得到了勾連，分數乘法的意義在學生頭腦中扎根，為后續學習打下基礎。另外“一個數是另一個數的幾分之幾”的舊知就是“一個數是另一個數的幾倍”；“已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數？”是乘法的逆運算，可以用方程來解決；而“求一個數比另一個數多（少）幾分之幾？”實際就是比多比少，只是多多少，少多少需要抓住單位“1”先進行計算而已。教學時老師幫助學生尋找解決分數實際問題的根源，打通新舊知識之間的聯系，一旦新知與舊知的橋梁搭建成功，解決分數應用題就不再是什么困難的事了，學生學習的自信也隨之建立。

分數問題學生都能在尋根的過程中找到對應的方法，那么比、百分數等問題也就迎刃而解了，當教學中溝通三者與除法之間的關系后學生會感覺豁然開朗，原來數學并不難，關鍵要知道這樣做的依據是什么，也就是知識的根在哪里。

編輯 杜元元