善待錯解

黃聰遠

摘要：學生學習數學出現的錯誤一直是數學老師比較關注的問題。其實，我們（學生和教師）每一個人都會在數學學習過程中會犯不同程度的錯誤，因此，學生在數學學習中出現錯誤是非常自然的現象，如何利用錯誤來培養學生的學習能力，是我們老師應該關注的。

關鍵詞：錯誤；發展；能力

一、點評錯誤，提高學生分析能力

例已知關于x的一元二次方程a2x2+3ax-4=0求證：方程總有兩個不相等的實數根；

錯誤解法：

解：根據題意，得

b2-4ac=9a2+16a2=25a2

∵25a2≥0

∴b2-4ac≥0

即方程總有兩個不相等的實數根

正確解法：

解：根據題意，得

b2-4ac=9a2+16a2=25a2

∵一元二次方程

∴a2≠0即a≠0

∴25a2>0

即b2-4ac>0

∴方程總有兩個不相等的實數根

思考：這兩道題看似相似，但很多學生容易出現例2錯誤的解答過程，而且不知問題出在哪？所以在講解時，我讓學生點評，學生通過對例1、例2進行辨析，學生可以加深對一元二次方程的理解。通過分析其他同學錯誤的原因，理解并掌握考查的知識點，糾正自己的錯誤，從而總結出此類問題的解題方法和技巧。

二、變式易錯題，提高學生思維發散性

變式教學使一題多用，給學生以新鮮感，能喚起學生的好奇心和求知欲。在教學過程中，根據學生的特點，教師通過創設合理的、有挑戰性的變式訓練，激發學生的學習興趣。對于每一個變式，通過在師生、學生之間的相互討論，促進學生思維發散。

例1已知關于x的方程x2-（k+3）x+3k=0.求證：無論k取何實數，該方程總有實數根.

解：根據題意，得

b2-4ac=k2+6k+9-12k=（k-3）2

∵（k-3）2≥0

∴b2-4ac≥0

即方程總有實數根

變式已知關于x的方程（k-1）x2+2kx+2=0.求證：無論k為何值，方程總有實數根.

錯誤解法：

解：根據題意，得

b2-4ac=4k2-8k+8=（2k-2）2+4

∵（2k-2）2+4>0

∴b2-4ac>0

即無論k為何值，方程總有實數根.

正確解法：

解：當k=1時，原方程可化為2x+2=0，解得：x=-1，此時該方程有實根；

當k≠1時，方程是一元二次方程，有：

b2-4ac=4k2-8k+8=（2k-2）2+4

∵（2k-2）2+4>0

∴b2-4ac>0

即方程有兩個不相等的實數根

∴無論k為何值，方程總有實數根.

思考：這道變式題，很多學生容易陷入例2的解法，沒有意識到例2的方程指的是一元二次方程，而變式題的方程可能是一元一次方程，也有可能是一元二次方程；由思維的不嚴謹所產生的錯誤在學生中非常常見。比如需要分類討論的題目往往是學生學習的難點問題。而分類討論思想也是初中數學常見的，體現學生思維嚴謹性的數學思想方法，要求學生掌握和應用。分類討論是根據研究對象性質的差異，分別對各種情況予以考查，這也是學生容易出錯的地方，其主要原因是對所討論變量的取值范圍分類不明確。分類討論思想是在解決問題出現不確定性時的有效方法；同時還可以培養我們的洞察能力和全面思考問題的能力。因此通過選擇典型問題進行變式訓練，力爭覆蓋此類問題的各種類型，有利于學生構建合理、完整的新知識。

例2已知一次函數y=（m-1）x+m+3經過第一二四象限，則m的取值范圍.

解：根據題意，得

m-1<0m+3>0

解得-3

變式已知一次函數y=（m-1）x+m+3不經過第三象限，則m的取值范圍.

錯誤解法：

解：根據題意，得

m-1<0m+3>0

解得-3

正確解法：

解：根據題意，得

m-1<0m+3≥0

解得-3≤m<1

思考：一次函數不經過第三象限，有些學生容易錯誤理解成就是經過第一二四象限，在解題時，學生對已經接受的知識、解題方法等內容，往往在心目中有比較深刻的印象，常常思維定勢，先對問題進行模式辨認，當在解決相似的新問題時，具有試圖把新的問題納入到已建立的模式中加以解決，如此就造成了“先入為主”的思維惰性。這些固然對新知識的建構是很好的經驗，但也會限制學生對問題作出更加深入細致的探討，從而產生思維定勢。

總之，萬事開頭難，在建立錯題資源的初期是一個非常痛苦的階段，一定要長期持久的投入，貴在堅持，因為錯題資源重要的是平時的積累與反思。錯題資源能改變學生對錯誤的態度，對待錯題的態度是減少做錯的關鍵，可以說一本萬利；俗話說：失敗乃是成功之母。因為錯誤才能使認清自己的不足，并且可以優化已有知識結構。

（作者單位：廣東省惠州市惠陽區新圩中學516223）