高考數學中圓錐曲線的考察及拓展

康湫婉

摘要：圓錐曲線是高考數學當中的一個重點，也是難點。選擇填空題考察性質和技巧以及綜合運用，解答題中以曲線方程的求解和弦長為主，并以此拓展和衍生出相關的計算問題。其多樣性和復雜性給許多學生造成困難。本文以2016年全國I卷高考理數第20題為例對高考數學中圓錐曲線的解答題進行剖析，并進行相應的拓展，為考生備考提供良好的幫助。

關鍵詞：高考數學； 圓錐曲線 ；拓展

在高考數學當中，圓錐曲線內容占有很大的比例，是高考考察的重點和難點。一般題目思路新、計算量大，成為區分考生水平的一個重要的分水嶺。因此，圓錐曲線題目也是考生在備考過程中必須要重點練習的重點題型，一般在第一問中會考察學生的基本技能，例如根據定義求解圓錐曲線方程，或者是圓錐曲線與直線或圓的關系的相關題目，求解依據一般是圓錐曲線的性質求解。這類題目在平時的練習中較為常見，因此，許多同學可以解決第一問。而第二問則呈現多樣化，考察弦長相關問題居多，重點考察學生的數學思維能力和綜合能力，具有一定的難度。在本文中，筆者以2016年全國卷（I）理科數學第20題為例，講解高考中圓錐曲線解答題的命題思路，并對第二問重點講解并進行拓展。

例.設圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B點作AC的平行線交AD于E.

（I）ぶっ鱸EA|+|EB|為定值，并寫出E的軌跡方程

（II）ど璧鉋的軌跡為C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍。

解：（I）將圓的方程整理為（x+1）2+y2=16，可知圓心坐標A（-1，0）B（1，0），根據題目做出直線l，交圓A于C，D兩點，由圓的性質可知|AC|=|AD|，即△ACD為等腰三角形，∠ACD=∠ADC。由于AC∥BE，可知∠ACD=∠EBD，從而有∠ADC=∠EBD，即有|EB|=|ED|， 因為|EA|+|ED|=4，所以|EA|+|EB|為定值4。

A，B兩點為定點，E點具有|EA|+|EB|的性質，則由定義可知E的軌跡為橢圓，且a=2，c=1，可得橢圓方程x24+y23=1（y≠0），

其中要注意y≠0這一補充條件是容易失分的地方，因為題目中有描述直線l與x軸不重合，因此E點的縱坐標不可能為0。第一問是常規題目，考察幾何關系和橢圓的定義，并由此求解橢圓的方程。

（II）根據題意，可以做出圖形

這道題目首先我們應當知道四邊形MPNQ面積應該如何求解，盡管是一個不規則的四邊形，但是它的對角線垂直，因此其面積可以表示為

SMPBQ=12|MN||PQ|

按照常規思路，我們只需要將|MN|和|PQ |以斜率的方式表示出來代入該式當中即可求得面積關于斜率的表達式，通過進一步計算確定面積的取值范圍。

直線l的斜率k分為兩種情況，一種是斜率存在的情況，一種是斜率不存在的情況，即直線l垂直于x軸。為簡便起見，我們先討論斜率不存在的情況，較為簡單，考試過程中學生也要有這樣的策略，特別是在時間不足的情況下，將能拿到的分數拿到手。

當斜率不存在時，P，Q在x軸上，|PQ|的值即為圓A直徑的長為8。M，N兩點的橫坐標為1，縱坐標根據上題所求出的橢圓方程亦可求得為±32，所以|MN |的值即為3，代入面積公式中可以求得面積為12.

當斜率k存在時，我們可設直線l的方程為，直線lPQ的方程則為y=-1k（x-1），將直線l的方程代入到橢圓的方程當中，并利用弦長公式求出|MN|=12（1+k2）（4k2+3），過程不再復述，弦長的求解方法是平時練習中最為常見的，這一部分計算較為耗時間，學生需要熟練掌握運算技巧，切勿急躁，耐心才能獲得準確答案。

有關|PQ |的求法，則可借助點到直線距離與勾股定理，可以適當簡化計算，圓心A到直線lPQ的距離為d=|-1+k·0-1|1+k2=21+k2

則圓的弦長為|PQ|=242-41+k2=43+4k21+k2

代入到面積公式中，即可求得

SMPBQ=12|MM||PQ|=1212（1+k2）（4k2+3）43+4k21+k2=2414+14（14k2+3）

則，12

這樣解題的思路較為直接，涉及到弦長計算的題目一般計算量都很大，既浪費時間又容易出錯。

上述解法為常規思路解法，其實，我們還可以有另一種解法，利用余弦定理，我們設∠MBA為θ，θ∈（0，π），則在△MAB中，根據余弦定理，可得|MA|2=|MB|2+|AB|2-2|MB||AB|cosθ.其中，根據橢圓的性質|MA|+|MB|=4，且|AB|=2

可得|MB|=32-cosθ，同理可得|NB|=32+cosθ

此時，|MN|=|MB|+|NB|=32-cosθ+32+cosθ=124-cos2θ

與上題求解圓弦長的方法類似，本題中也采用點到直線的距離公式與勾股定理相結合的方法，與上題不同的是，此時的斜率需用我們設置的角度來表示，即為tan（π2-θ），則直線方程為y=tan（π2-θ）（x-1），與上題計算方法類似，不再重復，最終求得的結果為

|PQ|=44-cos2θSMPBQ=12|MN||PQ|=12·124-cos2θ·44-cos2θ=244-cos2θ

根據角的范圍，也可求得四邊形MPNQ面積的取值范圍是

12≤SMPBQ<83

第二種求解方法運用了余弦定理，思路不容易想到，但是簡化了計算量，而且在設角時我們是設的是∠MBA而并不是傾斜角∠PBA，這樣設的好處在于不需要再討論斜率是否存在的問題，當∠MBA=90°時剛好是斜率不存在的情況，已經包含在角的范圍內。在以后的練習當中可以嘗試進行運用。

弦長問題一直是學生們的一個難點，龐大的計算量很容易讓學生放棄題目。教材當中并未直接給出弦長公式的計算方法，在實際求解過程中我們可直接運用，這樣可以節約計算時間，將時間分配給能夠拿到高分的題目。在此，我們對弦長類的問題進行拓展。希望學生能夠在實際應用中拓展思路，舉一反三。

其中較為典型的是焦點弦的弦長問題，本題中我們以雙曲線的焦點弦為例求解其焦點弦的長度。

題目：已知：雙曲線x2a2-y2b2=1的右焦點坐標為（c，0），過右焦點的直線l交雙曲線的于點A，B，求AB的長度。

同樣的，設直線l的斜率為k（當k存在時），則直線l的方程為：

y=k（x-c）

與雙曲線方程聯立，并根據弦長公式求解，可得：

|AB|=2a·（c2-a2）（1+k2）|c2-a2（1+k2）|

如果設直線的傾斜角為θ，則焦點弦公式可表達為：

|AB|=2a·c2-a2|a2-c2cos2θ|

類似的，可以求出橢圓x2a2+y2b2=1（y≠0）焦點為（c，0）焦點弦的公式為：

|AB|=2a·a2-c2|a2-c2cos2θ|

拋物線過焦點F（p2，0）的焦點弦公式為

|AB|=2psin2θ

以上證明略。

圓錐曲線問題是高考中的必考點，在解答題中考察的內容第一問一般為根據定義或者參量關系求解圓錐曲線方程或者根據幾何關系來求解與證明某些參量等等，第一問一般較為容易，學生只要掌握常規解法一般都可以解決，第二問是題型變化最多，也是區分度較高的一問，一般會涉及到弦長公式。給考生的思路和計算造成很大的障礙，因此，學生在備考的過程中應對計算過程多加練習，同時在考試過程中要有相應的策略，一般情況下計算繁瑣可能是由于學生選擇方法不當造成的，在備考過程中要加以總結較為簡便的計算方法和思路，幫助自己獲得更高的分數，從而實現自己的大學夢想。

參考文獻：

[1] 岳峻.2016年數學高考全國卷理科第20題的探究.中學教研（數學）.2016（8）：44-47.

[2] 方志平.橢圓、雙曲線過焦點的弦長公式及其應用.中學數學（高中版）.2011（7）：49-51.

（作者單位：福建省泉州市第十五中學362000）