層層滲透 有效揭示

徐忠良

摘要：應(yīng)用題教學(xué)是初中數(shù)學(xué)的重點和難點之一。它的內(nèi)容涵蓋了方程、不等式、函數(shù)的幾個方面。應(yīng)用題教學(xué)方式多樣、繁雜。書上雖然列舉了解決應(yīng)用題的基本步驟“審題——尋找（不）等量關(guān)系——設(shè)未知數(shù)——列出方程（不等式）”。但是這樣的步驟過于籠統(tǒng)，缺乏教學(xué)的可操作性和診斷性。而教師往往按照自己的思考過程去分析講解問題，很少站在學(xué)生的立場去看待問題的先后順序和難易。本文的目的是以學(xué)生的思維角度出發(fā)，從紛繁復(fù)雜的應(yīng)用題教學(xué)中理出一條可以作為指導(dǎo)性的線索，將應(yīng)用題的教學(xué)結(jié)構(gòu)清晰地呈現(xiàn)出來。根據(jù)這個結(jié)構(gòu)分析現(xiàn)有的教學(xué)過程中產(chǎn)生的問題，并給出相應(yīng)的對策，并從一個教學(xué)實例中說明了這種結(jié)構(gòu)安排的教學(xué)有效性。

關(guān)鍵詞：應(yīng)用題；結(jié)構(gòu)；有效性

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）01-0036

一、應(yīng)用題教學(xué)的結(jié)構(gòu)安排

很多教程認(rèn)為應(yīng)用題的教學(xué)流程應(yīng)該是審題——尋找（不）等量關(guān)系——設(shè)未知數(shù)——列出方程（不等式）。這樣的結(jié)構(gòu)既不具備可操作性又缺乏教學(xué)的診斷性。且這個過程沒有體現(xiàn)學(xué)生從接受信息伊始的思維過程。

為此，筆者嘗試將應(yīng)用題的教學(xué)歸結(jié)為以下的一個結(jié)構(gòu)安排（圖1）：

以上結(jié)構(gòu)基于學(xué)生思維的由淺入深的過程，我們來分析這個過程的可行度：

初次讀題，需要一個較為簡單的任務(wù)目標(biāo)——構(gòu)筑生活情境。接下來，聯(lián)想到一些與題目相關(guān)的基本模型，這些基本模型是大家都比較常見的或者通過思考容易得到的。接著設(shè)未知數(shù)，那么這個未知數(shù)有什么用？這是學(xué)生經(jīng)常思維停滯的地方。在以上的結(jié)構(gòu)安排中筆者的下一個任務(wù)是用已知條件和未知數(shù)去表示一些基本量。也就是說學(xué)生并不是只有找到了方程（不等式）以后才能用未知數(shù)，他可以在列方程之前就做點有用的事情。當(dāng)做完這些事情后，題目的條件從無序狀態(tài)變?yōu)橛行驙顟B(tài)，最終可以較為輕松地尋找出（不）等量關(guān)系。

例：用一個周長為30m的鐵絲，圍成一個面積為50平米的矩形，求這個矩形的長和寬（長>寬）

初次讀題，容易想到將鐵絲扭成矩形的過程；接著，學(xué)生會感知到本題是和長方形面積有關(guān)的，就容易聯(lián)想到長、寬和矩形面積三個量，并且他們?nèi)叩年P(guān)系是矩形面積=長*寬；隨著基本關(guān)系和問題的清晰，就可以試著設(shè)未知數(shù)，這里學(xué)生會設(shè)此矩形的寬為x。

有了可以使用的已知量和未知量，就可以用代數(shù)式表達(dá)那些基本關(guān)系的量。一般來說，很多應(yīng)用題的基本關(guān)系雖然是清晰的，但那些基本關(guān)系的量并不是直接給出，需要學(xué)生對已知條件和未知量進(jìn)行合理的組合。比如這里面，寬已經(jīng)設(shè)為x了，但是“矩形的長”無論是已知條件還是未知系數(shù)都沒有直接告知，故我們可以將“長”用x的代數(shù)式表示出來。這個環(huán)節(jié)的作用隨著題目難度的增加而變得明顯，這會給解題減少很多盲目性。

以上都完成后，就可以尋找等量關(guān)系列出方程。這里等量關(guān)系應(yīng)該是長*寬=矩形面積，此時長、寬、矩形面積的表示均已經(jīng)到位，直接帶入這個等量關(guān)系即可列出方程。

事實上一般的應(yīng)用題教學(xué)流程均適用于以上的結(jié)構(gòu)，對于簡單的題目（比如上例），往往某些流程在極短的時間內(nèi)就完成了。而對于那些比較復(fù)雜的題目，以上的流程可能需要被單獨分解，甚至是詳細(xì)講解和討論。

二、從結(jié)構(gòu)中分析教師在教學(xué)過程中的誤區(qū)及原因

誤區(qū)一：從流程的執(zhí)行順序角度看，教學(xué)流程順序混亂

比如：在讀題過后，先找等量關(guān)系，再讓學(xué)生設(shè)置未知量，然后用代數(shù)式表示基本量，最后列出方程。筆者認(rèn)為這是一種嚴(yán)重的結(jié)構(gòu)混亂。這里要指明一點，等量關(guān)系的尋找應(yīng)該是最后確定的，因為等量關(guān)系的確定總是較為困難的一個環(huán)節(jié)。一開始應(yīng)該是較為簡單的思維活動，比如感知基本的數(shù)學(xué)模型。很多時候我們在讀題后就將等量關(guān)系直接和學(xué)生說明或是給出了很明顯的提示，然后再處理其他環(huán)節(jié)。其實，這是方便自己的行為。這樣做的不利因素：學(xué)生的思維已經(jīng)不是循序漸進(jìn)、由淺入深的過程。而是一種被教師引導(dǎo)下的跳躍式的，無思考余地的思維過程。

例：一條環(huán)形跑道長400m，甲550m/min，已250m/min，若兩人同時同向同地出發(fā)，則經(jīng)過多少分鐘甲第一次追上乙。

假如教師無視學(xué)生思維的漸進(jìn)性，在讀題后就將“甲跑的路程-乙跑的路程=一圈跑道的長度”這個關(guān)系直接交給學(xué)生。這樣此題對于學(xué)生的思考價值幾乎為零。事實上，這道題目從學(xué)生剛接觸的短暫時間里要弄清這個等量關(guān)系并非易事。我們教師要做的是在聯(lián)想現(xiàn)實情境后，給學(xué)生感知基本模型，這里很明顯是一個關(guān)于“速度*時間=路程”的基本模型。設(shè)經(jīng)過x分鐘后，甲追上了乙。此時，我們就可以表示一些量，比如x*550就表示甲的路程，x*250表示乙的路程，之后稍加思考即得出：“甲跑的路程-乙跑的路程=一圈跑道的長度”可謂是水到渠成，這也是本題的教學(xué)價值所在。

誤區(qū)二：從目標(biāo)指向角度看，目標(biāo)指向不明確

比如：我們給學(xué)生一個指令——請仔細(xì)審題。這是一個無效的指令，審題到底是幫助了解題目的實際情境，還是感知基本模型，還是尋找等量關(guān)系。由于目標(biāo)指向的不明確，導(dǎo)致一部分學(xué)生雖然在“審題”，但是往往是機(jī)械地默讀了一遍文字，沒有起到很好的作用。

誤區(qū)三：從任務(wù)的執(zhí)行者角度看：執(zhí)行者的選擇錯誤導(dǎo)致效率低下

比如：最典型的例子是所有的步驟均在教師“引導(dǎo)”下完成，從讀題到等量關(guān)系的確立。這是一個常見的教學(xué)誤區(qū)。其不利之處在于：參與面狹窄，即便部分學(xué)生可以在教師的引導(dǎo)下思考，跟上教師的思路，但是參與面并不指向全體學(xué)生，部分學(xué)生在中途已經(jīng)跟不上教師的思路，教學(xué)有效性自然低下。

例：一標(biāo)志性建筑，地面呈正方形，在四周鋪上花崗巖，形成一個寬為3m的正方形框。已知這個框恰好用了192塊邊長為0.75米的正方形花崗石，問標(biāo)志性建筑地面邊長多少米？

題目本身和面積有關(guān)。但是最容易想的等量關(guān)系是：“大正方形面積-小正方形面積=四周的花崗巖的面積。”但是由于這樣一來，列出的方程會涉及到完全平方的展開，故不少教師將“等量關(guān)系的尋找”任務(wù)錯誤地交給了自己。事實上，我們只要在“計算”方面稍微寬容些，就可以讓學(xué)生多一次獨立思考的機(jī)會。

誤區(qū)四：從各種任務(wù)的重要程度上看：容易忽略某些看似簡單的任務(wù)

比如，讀題雖然是一個閱讀過程，但是要將具體情境展現(xiàn)在每個學(xué)生腦海中，并不是很簡單的過程?，F(xiàn)在的不少學(xué)生生活閱歷較低，對于一些日常生活的處理根本沒有經(jīng)驗，一旦數(shù)學(xué)和生活結(jié)合在一起，對應(yīng)用題的恐懼心理可想而知。另外，設(shè)置未知數(shù)這一步看似簡單，但實際這是將未知量作為可用條件的一個思維轉(zhuǎn)換。否則設(shè)未知數(shù)只能作為一個形式，學(xué)生并未真正理解設(shè)未知數(shù)的意義。很多學(xué)生雖然會寫“設(shè)……為x”，但是接下去就束手無策，這就是沒有很好的理解未知數(shù)的作用而產(chǎn)生的結(jié)果。

例：教師和學(xué)生一共54人一起去公園，教師門票每人7元不打折，學(xué)生票價半折。門票總計206.5元，問學(xué)生共多少人？

學(xué)生可以很容易設(shè)“學(xué)生有x人”。但是有多少學(xué)生真正理解了未知數(shù)的意義呢？有不少學(xué)生之后列出了以下的方程：（54*7-206.5）/3.5=x。雖然也將其稱為方程，但是這說明學(xué)生還是將未知數(shù)作為一種需要去解決的問題，而不是將它作為一種可以使用的條件參與到方程的建設(shè)過程。教師不僅需要讓學(xué)生“設(shè)學(xué)生有x人”，更應(yīng)該從思想上引導(dǎo)他們，有了這個x，就可以將x看做一個量，并且可以在任何的代數(shù)式和等式中使用。

三、從結(jié)構(gòu)安排中分析部分學(xué)生在課堂中的特點

分析整個結(jié)構(gòu)流程，我們會發(fā)現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果之所以產(chǎn)生差別是因為對于任務(wù)完成的步調(diào)不一致。很明顯的事實是學(xué)生在一節(jié)課中有著不同的理解深度，不同的思維速度和不同的起步知識。可以想象，一部分學(xué)生已經(jīng)進(jìn)入感知數(shù)學(xué)基本模型階段時，部分學(xué)生還在通讀題目，聯(lián)想生活情境。一部分學(xué)生可以根據(jù)等量關(guān)系列出方程時，另一部分學(xué)生可能還在理解某些表示基本量的代數(shù)式。

例：先由甲工程隊獨做2天后，再由乙工程隊獨做3天剛好完成。已知單獨工作，乙比甲多用2天，求甲乙工程隊單獨完成這項任務(wù)各需多少天。

將總工程量看做“1”，并且設(shè)甲需要x天，則乙為x-2天，由題意得方程：2/x+3/（x-2）=1。在這個過程中，基礎(chǔ)較好的學(xué)生快速得出方程，但是部分學(xué)生正在思考這個“1”是哪里得出的？部分學(xué)生在思考為何設(shè)甲需要x天，甲的工作效率就是1/x。這些問題我們總是忽視但確實存在于課堂中的現(xiàn)象。

四、應(yīng)用題教學(xué)有效性的建議

既然我們從結(jié)構(gòu)中發(fā)現(xiàn)了教師在上課的一些問題和學(xué)生的思維差異，也找到了產(chǎn)生這些問題的原因。那么，我們就可以試著做出一些改變，避免這些消極因素對教學(xué)的影響。筆者給出以下幾條建議：

1. 給予學(xué)生充分時間與空間去建立現(xiàn)實情境

學(xué)生的生活經(jīng)驗和社會閱歷對于解決應(yīng)用題非常關(guān)鍵。比如在買賣中涉及的一些原理：你買東西花成本，賣東西賺差價，每天也許還有其他支出；薄利多銷，你單件的利潤越小則銷量往往越高；買300送100優(yōu)惠活動等。學(xué)生有基本的生活經(jīng)驗，在解題中就會很自然地往那方面靠攏。

例：電信公司兩種電話計費方法：方法A是每月收取月租費50元，此外通話時間按照0.4元/分收取。方法B是不收取月租費，通話時間按0.6元/分收取。問通話多少分鐘，方法A的計費方法便宜？這是七年級的應(yīng)用題，表面上看這個題目要用到不等式的知識。其實如果學(xué)生有生活經(jīng)驗，他們就會發(fā)現(xiàn)A的每分鐘收取的費用比較少，而B的費用比較多，通話時間越久，A的優(yōu)勢就越大，雖然A前期虧了50，但是隨著通話時間的增加，可以將虧損彌補回來。假如學(xué)生能夠想到這一步。教師只需稍加引導(dǎo)：那通話時間為多少，則A費用和B費用相等呢？這個題目就非常用方程的思維去解決了。

2. 在“簡單”的環(huán)節(jié)上多下筆墨。（參見上文“誤區(qū)四”）

3. 建立有效的補償機(jī)制

補償上課過程中因?qū)W生理解力的不一致所帶來的消極作用。教師的講授速度參照了一部分同學(xué)的理解力，所以另一部分學(xué)生落后于教師的進(jìn)度也是在所難免的。我們要讓學(xué)生在步調(diào)不一致的時候得到幫助。解決這個問題最簡單的機(jī)制就是有效的合作學(xué)習(xí)。合作學(xué)習(xí)的最大作用在于解決了學(xué)生完成任務(wù)的步調(diào)不一致，和產(chǎn)生問題后的及時幫助。合作學(xué)習(xí)對于理解力較弱的學(xué)生而言非常的有用。

例：商店里有種皮衣，每件售價600元可獲利20%，現(xiàn)在客戶用2800元的總價購買了若干件皮衣，而商家仍然獲得了12%的利潤，問客戶買了多少件皮衣。

為了解決步調(diào)不一致，我們可以讓四人小組為一個合作單位，規(guī)定好一號位學(xué)生說明這種問題涉及哪些量？二號位學(xué)生說明這些量的基本關(guān)系（一個簡單的等式）；三號位學(xué)生說明“每件售價600元可獲利20%”如何求出成本；四號位學(xué)生說明，x件皮衣，成本，利潤率，總價之間的關(guān)系式。應(yīng)該將這個合作任務(wù)呈梯度分配，難度小的由反應(yīng)較慢的學(xué)生完成，難度較大的任務(wù)由反應(yīng)較快的學(xué)生完成。一旦產(chǎn)生了理解上的步調(diào)不一致，則由基礎(chǔ)好的學(xué)生講解給基礎(chǔ)差的學(xué)生聽。

4. 堅持思維過程步驟化，目標(biāo)指向明確化

我們可以想象一下運動員投籃時的動作分解。先用上臂的力量給籃球做功，再到下臂的法力，最后手腕波動籃球投出弧線。這個過程在比賽中看似一步到位，但是實際是分步完成的。同理，應(yīng)用題教學(xué)應(yīng)該堅持將思維過程步驟化，且每步應(yīng)伴隨著一個特定的目標(biāo)。如果將這個理念一直滲透下去，學(xué)生解應(yīng)用題的能力區(qū)別實際就是完成各個步驟的速度和質(zhì)量的區(qū)別。題目有難易之分，對于簡單的題目，我們應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生將思維過程快速通過各個任務(wù)。對于有難度的題目，我們更要讓學(xué)生帶著目標(biāo)去完成逐級的任務(wù)。即便最后把問題不能圓滿解決，但是從清晰的步驟中學(xué)生可以體會到自己哪些方法需要熟練，哪些語句值得注意。而且這種過程清晰的思維任務(wù)可以最大限度地避免學(xué)生花了時間卻一無所獲。

5. 選擇有效的任務(wù)執(zhí)行者

任務(wù)執(zhí)行者可分為教師單獨講授，學(xué)生獨立完成，學(xué)生合作學(xué)習(xí)，教師輔助引導(dǎo)。選擇不同的任務(wù)執(zhí)行者在解決任務(wù)中都有一定的優(yōu)勢和劣勢。比如教師作為執(zhí)行者可以讓學(xué)生少走很多彎路，節(jié)約課堂時間，但不利于學(xué)生獨立解決問題能力的培養(yǎng)，也不利于學(xué)生參與度的增加。選擇任務(wù)執(zhí)行者的原則是在有限的時間內(nèi)實現(xiàn)最大的參與度與任務(wù)完成率。

五、一個良好的應(yīng)用題教學(xué)流程分布及效能表

（注：流程執(zhí)行者選擇中，教師——教師單獨的講授和分析；學(xué)生——學(xué)生獨立的思考與分析；合作——學(xué)生之間有效的合作學(xué)習(xí)；輔助——在教師引導(dǎo)下的學(xué)生思考活動）

這個表中，我們最終將所有任務(wù)落實在參與度和完成度上。筆者認(rèn)為，一個有效的應(yīng)用題教學(xué)應(yīng)該是：在合適的時間分配內(nèi)，有著較高的參與度和完成度。

六、具體實踐案例

題目：某城市平均每天產(chǎn)生生活垃圾700噸，全部由甲，乙兩個垃圾廠處理，已知甲廠每小時處理垃圾55噸，需費用550元；乙廠每小時處理垃圾45噸，需費用495元。如果規(guī)定該城市處理垃圾的費用每天不超過7370元，甲廠每天至少需要處理垃圾多少小時？

我們可以根據(jù)的《應(yīng)用題流程分布及效能表》和具體題目特點，在具體任務(wù)劃分，時間分配，具體執(zhí)行者選擇等方面做好安排，并做好記錄（以下記錄數(shù)據(jù)與事實存在微弱偏差，完成度項目部分不可計數(shù)）：

1. 初次讀題，了解生活背景

本題涉及到的實際情景比較清晰。所以選擇學(xué)生獨立完成。絕大多數(shù)學(xué)生在給定的時間內(nèi)可以了解以下事實：一天要處理700噸，甲、乙兩個垃圾處理廠分別處理一些垃圾，將垃圾處理完。每處理一噸垃圾，需要一定的費用。

時間分配：1分鐘，參與度：100%，完成度：不可記

2. 感知數(shù)學(xué)概念

本題的涉及基本概念，本質(zhì)是單價、數(shù)量、總價的問題。但是學(xué)生需要一些具體的描述就能更好地理解。這個過程中，教師雖不直接參與講授，但在多媒體上可以給出一些描述：每小時處理垃圾的費用；處理時間；總費用。學(xué)生根據(jù)提示獨立理解這些量的意義，并完成三個量之間數(shù)學(xué)關(guān)系。

時間分配：1分鐘，參與度：100%，完成度：98%

3. 設(shè)置相關(guān)未知數(shù)

八年級學(xué)生已經(jīng)不像七年級學(xué)生那樣對未知數(shù)感到害怕，多數(shù)學(xué)生可以獨立從問題那里得到“設(shè)甲長每天至少處理垃圾x小時”。但是考慮到這個x出現(xiàn)在不等式類型中，教師需提醒學(xué)生避免受“至少”這種詞對分析題意的干擾：“這個x就相當(dāng)于一個確定的量，大家將整句話理解為‘設(shè)甲長每天處理x小時即可?！?/p>

時間分配：0.5分鐘，參與度：100%，完成度：不可記

4. 用代數(shù)式表示基本量

這里要學(xué)生表示的量有這些：（1）乙處理的時間；（2）甲處理的費用；（3）乙處理的費用。這道題目的難點在于如何根據(jù)已知條件和未知量x來表示乙的處理時間。而且考慮到學(xué)生對于數(shù)據(jù)處理上的步調(diào)不一致。在獨立思考后，給學(xué)生小組合作。

時間分配：3分鐘，參與度：90%，完成度：78%

5. 獨立思考，尋找不等量關(guān)系，并列出不等式

大屏幕給出提示：在這個問題中的不等量可以從以下幾個方面尋找：（1）生活中的常識與經(jīng)驗；（2）題目中的關(guān)鍵語句。

時間分配：2分鐘，參與度：95%，完成度：80%

完成整個題目控制在8分鐘左右。教學(xué)效果良好，不少基礎(chǔ)較差的學(xué)生也積極參與到思考與討論中來，參與度很廣；由于任務(wù)與思維難度呈階梯狀上升，使得學(xué)生思維的條理性增加，且有效合作在一定程度上降低了理解不同步的狀況，相應(yīng)的任務(wù)完成度也較為理想。

七、結(jié)束語

應(yīng)用題對于培養(yǎng)學(xué)生分析問題，解決問題大有益處。他也是方程思想和不等式思想的主要體現(xiàn)。筆者從學(xué)生思維的角度將應(yīng)用題的思考過程加以過程化，目標(biāo)化。實踐證明，從課堂的參與度和完成度看，本文討論的應(yīng)用題教學(xué)結(jié)構(gòu)安排適合絕大多數(shù)學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)，它避免了學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)的盲目性。長期地堅持這一教學(xué)過程，對于整體提高教師的課堂有效性有積極的作用。

參考文獻(xiàn)：

[1] 李鐵按.課程標(biāo)準(zhǔn)案例式解讀——初中數(shù)學(xué)[M].北京：教育科學(xué)出版社，2012.

[2] 歐陽新龍.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）解讀[M].武漢：湖北教育出版社，2012.

[3] 奚根榮.初中數(shù)學(xué)有效教學(xué)實用課堂教學(xué)藝術(shù)[M].北京：世界圖書出版社，2009.

[4] 何乃忠.新課程有效教學(xué)疑難問題操作性解讀[M].北京：教育科學(xué)出版社，2012.

（作者單位：浙江省杭州市余杭區(qū)星橋中學(xué) 310000）