數學教學求“連”，更求“聯”

翁志堅

摘 要：數學是一個多層次、多角度的整體，各知識內容之間存在一定的關聯。教師在教學中要善于引導學生發現數學知識之間的聯系，以提高學生的思維靈活性、創新性。

關鍵詞：一題多解；正遷移；重組練習

一、運用比較，溝通數學知識之間的內在聯系

《減法的驗算》這節課的教學內容中穿插了這樣一道思考題（如下圖）：

經過調查發現：大部分同學甚至是老師，不約而同地采用了嘗試法，由于是毫無策略的硬湊，以至于重復使用數字的豎式很多，耗時很長，結果很不樂觀。 在教研活動上，專門提出了這個問題進行討論，又上網查閱了相關的材料，終于對這個問題有了更深透地理解。

錯誤的認識導致解題策略的選擇失誤，沒有好的解題策略，盲目使用嘗試法肯定是不行的。為此，首先引導學生研究這樣一組簡單的試題：

先求和，再找規律。

23+56= 36+47= 78+46= 56+867=

62+37= 345+564= 758+164= 748+253=

注意：比較兩個加數各位數字之和跟和里的各位數字之和，找出它們之間的規律。

針對此題，我特意從我們學校三年級的四個平行班中隨機抽取了100位同學進行調查。調查結果顯示：大部分學生對“加數各位數字之和”與“和的各位數字之和”之間的關系都不十分了解，也沒有關注過，而且大部分同學對練習過的題目進行歸納的能力較差，所以他們在解答這個問題時不能快速找到突破口，只能采用逐一嘗試的方法。

筆者以為：該題的思維起點是：“加數各位數字之和”跟“和的各位數字之和”之間的關系，有了這個基本規律，對這道思考題的解答就可以“信手拈來”。根據豎式中的和與加數的位數不難發現，這道式子最多出現三次進位，最少出現一次進位：

假設一：一次進位

1+2+3+…+8+9=45

加數各位數字之和：（45+9）÷2=27和的各位數字之和：45-27=18

由于三位數加三位數，和是四位數，和中的最高位必須是1，又因為是最高位一次進位，所以0必須出現在和中，即4個數字分別是：（1、0、8、9），根據交換法，可以變化出許多加法式子：324+765=1089、342+756=1098…

假設二：二次進位

1+2+3+…+8+9=45

加數各位數字之和：（45+18）÷2=31.5

出現小數，直接排除

假設三：三次進位

1+2+3+…+8+9=45

加數各位數字之和：（45+27）÷2=36和的各位數字之和：45-36=9

即和中的4個數字分別是：（1、0、5、3），（1、0、2、6），根據交換法，又可以變化出許多加法式子：264+789=1053、437+589=1026…

二、運用一題多解，溝通數學知識之間的內在聯系

一題多解，由于解題的方法眾多，深受學生喜歡，它可以培養學生思維的靈活性和創造性，并且能促使了解學生知識之間的內在聯系。

做過奧數題的同學一定不會忘記“雞兔同籠”帶來的痛楚：

今有雞兔同籠，頭共8個，足共20只，求雞與兔各有多少只？

方法一：用假設法解答是最普遍的：

方法二：用方程會使思路變得簡單：

方法三：還有抬腿法也比較實在：

仔細分析，這幾種方法還是比較繁雜的，首先計算出來的是雞的數量，還是兔的數量？有什么規律嗎？中、下層學生往往無從下手。另外，對于初學的人，想把每一步的數與形結合起來，難度很大。

為什么我們不去試試，把“實踐與應用”跟“圖形與幾何”結合起來考慮呢？不難發現，雞兔同籠問題跟求組合圖形的面積問題有極其相似的地方。

三、運用正遷移規律，溝通數學知識之間的內在聯系

運用知識的正遷移規律，有助于我們學習新知識、解決新問題，有利于溝通數學知識之間的內在聯系。例如，在水流問題這一知識版塊，里面的概念繁多而復雜，抽象又生僻，我們理解起來感覺很混亂。如何將抽象的“靜水速度”“逆水速度”“順水速度”“水流速度”的內在關系，用直觀的線段圖簡單、明了的表示出來？

通過這樣一個簡單的線段圖，將水流問題的四個概念與和差問題完美的融合在一起：“水流速度”相當于“較小數”、“靜水速度”相當于“較大數”、“逆水速度”相當于“差”、“順水速度”相當于“和”。水流問題的四個概念間的內在對應聯系，便一目了然：

（順水速度+逆水速度）÷2=靜水速度

（順水速度-逆水速度）÷2=水流速度

靜水速度+水流速度=順水速度

靜水速度-水流速度=逆水速度

逆水速度+水流速度×2=順水速度

線段圖十分直觀，利用線段圖，可以根據其中的兩個條件，求出其他的未知項，十分簡便。由于充分運用了正遷移規律，學生不僅很快掌握了“水流問題”，而且溝通了和差問題和水流問題之間的內在聯系。

總之，數學是一個多層次、多角度的立體體系，數學知識之間存在著千絲萬縷的聯系。數學教師只有不斷地探索，才能更好地找到溝通數學知識之間的內在聯系，不斷地使數學教學完整化、系統化。在數學教學中，要根據內容，采取合理的方法，借助適當的形式引導學生去發現數學知識之間的內在聯系，進而讓學生感悟數學知識的整體性與數學方法的一般性。

參考文獻：

張翼文.小學數學典型教學內容的解讀與實踐[M].上海教育出版社，2013-01.

編輯 溫雪蓮